Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Primtall og faktorisering

Ved kryptering bruker vi store primtall til å skjule passord, bankinformasjon og annet på nettet. Hackere lager programmer som finner disse primtallene, "knekker koden", og får tak i informasjonen. Jo mer vi vet om primtall, desto sikrere er informasjonen på nettet.

Primtallene er byggesteiner for alle naturlige tall. Når vi skal finne fellesnevneren til store brøkuttrykke eller forkorte brøker, bruker vi primtallsfaktorisering.


Hva er primtall?

Vi sier at et tall er delelig med et annet tall dersom kvotienten, det første tallet delt på det andre, er et helt tall. For eksempel er 12 delelig med 3, siden kvotienten er 4. 12 er derimot ikke delelig med 8, siden kvotienten er 1,5.

DEFINISJON

Et primtall er et tall som er større enn 1 og som kun er delelig med seg selv og 1.

Fordi tallet 1 ikke er definert som primtall, er 2 det minste primtallet. Tallet 2 er også det eneste partallet som er et primtall. Alle andre partall er jo delelige med 2.


Primtallene mellom 1 og 20 er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Et av de viktigste og mest grunnleggende resultatene i matematikk kalles

TALLTEORIENS FUNDAMENTALSETNING

Alle naturlige tall utenom tallet 1, som selv ikke er et primtall, kan faktoriseres slik at alle faktorene er primtall, og denne faktoriseringen er entydig.


Å skrive et tall som et produkt av primtall kalles å primtallsfaktorisere. Et tall kan primtallsfaktoriseres på bare én eneste måte, sett bort fra at rekkefølgen på faktorene kan variere. Etter å ha primtallsfaktorisert et tall, vet vi med sikkerhet at dette ikke kan gjøres på noen annen måte.

Eksempel 1.

12 er et partall og derfor delelig med 2. Tallet 2 er et primtall: 12=26.
6 også er et partall. Så vi faktoriserer igjen: 12=26=223=223
Her er alle faktorene primtall. Da er vi er ferdige og har funnet den eneste mulige primtallsfaktoriseringen.

 

Eksempel 2.

Tallet 17 er ikke delelig med noe mindre tall, utenom med 1. Sjekk det! Derfor er 17 et primtall.

 

Eksempel 3

84:2=42
Dermed er 84=242.

Vi undersøker tallet 84. Dette er et partall og derfor delelig med 2: 

42 er også et partall. Vi dividerer med 2 igjen og får at

42=221

Da kan vi skrive

84=2221=2221.  
21 er produktet av 3 og 7 og derfor heller ikke et primtall. Men både 3 og 7 primtall, og den endelige primfaktoriseringen av 84 er

84=2237. En praktisk oppstilling ved primtallsfaktorisering ser du på bildet.

 

Primtallsfaktorisering og brøk

Eksempel 4.

Forkort brøken 399.

Vi begynner med å primfaktorisere telleren og nevneren:

39=313 
9=33 
         
Brøken kan vi skrive som 399=31333.
 
Både i telleren og nevneren har vi tallet 3 og derfor kan vi fortkorte. Vi får

399=31333=133.
  
Telleren og nevneren har ikke lenger noen felles faktorer, og brøken kan ikke forkortes ytterligere.

 

Eksempel 5

Regn ut 118+142. 

For å legge sammen to brøker, finner vi først fellesnevneren. En måte å gjøre dette på er å multiplisere de to nevnere, men da får vi et stort tall og det er fort gjort at vi under utregningen gjør feil. Så la oss se primtallsfaktorisere hver nevner:

18=233 
42=237 
Vi ser at 2 og 3 er fellesfaktorene for nevnere. Fellesnevneren er produktet av fellesfaktorene og resterende faktorer slik at fellesnevneren er lik

 2337=126.

Nå kan vi legge sammen brøkene:

 118+142=17187+13423=7+3126=10126 

Både telleren og nevneren i svaret er partall og derfor delelig med 2, så vi kan forkorte brøken:

 10126=52632=563 

Dette er det endelige svaret da brøken ikke kan fortkortes mer.

Begrep

  • Brøk

    Brøk

    Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

    Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

  • Faktor

    I en multiplikasjon kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. 

    Eksempel: 5 · 3 = 15. Her er 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet. Vi kan si at 15 består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Naturlige tall

    De positive heltallene 1, 2, 3, 4...

    Mengden av naturlige tall angis med symbolet .

    Hvis 0 skal være med i mengden bruker vi symbolet 0.

  • Nevner

    Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Primtall

    Positive hele tall større enn 1, som kun er delelig med 1 og seg selv.

    Ti fem første primtallene er: 2, 3, 5, 7, 11.

  • Teller

    Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
    Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

    I brøken 59, er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.