Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Løs en andregradslikning.

Hvordan løser vi andregradslikninger?

En andregradslikning med ukjent x er på formen ax2+bx+c=0, der a0. Fordi b og c skal være lik 0, kan andregradslikninger være på andre former.

 ax2+bx+c=0   a0,b0,c0 
 ax2=0   b=c=0 
 ax2+c=0   b=0 
 ax2+bx=0   c=0 


En andregradslikning kan ha maksimalt to løsninger. Noen andregradslikninger har bare én løsning, mens andre har ingen reelle løsninger.

Alle andregradslikninger kan løses samme måten som den mest generelle ax2+bx+c=0. Derfor ser vi først på løsningen av denne.

Løsning av  ax2+bx+c=0

Den vanligste løsningsmetoden for den generelle andregradslikningen er abc - formelen. Til og med kalkulatorer finner løsningene sine ved hjelp av denne formelen:

 x=b±b24ac2a 
Hvis du ønsker å se hvorfor denne formelen gir løsningene til en andregradslikning, se artikkelen Andregradslikninger i lynkurset Algebra. Ellers gjelder også følgende regel:

Regel

Hvis b24ac=0, har likningen kun den éne reelle løsningen x=b2ac.

Hvis b24ac<0, har likningen ingen reelle løsninger.

Eksempel

Løs likningen x2+10x24=0..

Her er a=1,b=10 og c=24. Vi setter verdiene inn i formelen.

 x=10±10241(24)21 
Vi regner ut og trekker sammen.

x=10±100+962 

x=10±142 

x=10+142  eller x=10142.

Da er x=2 eller x=12. Disse er de to reelle løsningene til andregradslikningen. Hvordan kan vi være sikre på at vi har funnet de riktige løsningene? Sett inn 2 for x x2+10x24 og se at du får 0. Det tilsvarende gjør du med den andre løsningen.

Løsning av ax2=0

Når både b og c er 0, får vi en likning på formen ax2=0. Prøver vi å løse denne likningen, ser vi fort at løsningen er x=0. Dette er også den eneste verdien av x som gjør at venstresiden av likningen er lik 0. x=0 er derfor eneste løsning på denne typen andregradslikninger.

 

Løsning av ax2+c=0

Her skal vi se på løsninger avhengig av hva de ulike konstantene a,b og c er.

  • b=0: Da er ax2=c og x2=ca. Denne typen andregradslikninger har to relle løsninger på formenx=±ca.
  • a>0 og c>0: Likningen har ingen reelle løsninger (kun komplekse tall), fordi tallet under rottegnet er negativt.
  • a>0 og c<0: Likningen har to reelle løsninger, fordi tallet under rottegnet er positivt.
  • a<0: Hvis c>0 har likningen to reelle løsninger. Hele uttrykket ca  være positivt for at vi skal få to løsninger på tallinja.

Løsning av ax2+bx=0

Hvis c=0, er den ukjente i alle ledd i likningen. Vi faktoriserer:

ax2+bx=x(ax+b)=0

Likningen har to løsninger, nemlig x=0 eller x=ba.

Både x=0 og x=ba gjør at x(ax+b) blir lik 0. Dette kan man alltid teste ved å sette inn løsningene for den ukjente og se at det begge sider av likningen er lik 0.

 

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Faktor

    I en multiplikasjon kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. 

    Eksempel: 5 · 3 = 15. Her er 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet. Vi kan si at 15 består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Formel

    En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

    Eksempel: A= πr2, er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

  • Komplekse tall

    Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tall. De er satt sammen av en realdel og en imaginærdel. Tallene kan fremstilles i et tallplan hvor førsteaksen er de reelle tallene og andreaksen de imaginære tallene. Den imaginære enheten er i=1. Et komplekst tall angis ofte på formen a + ib, hvor a og b er reelle tall.

  • Ligning

    En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

    Eksempel: 2x+8=14

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette — foran tallet.

    Eksempel: 3, som leses minus tre.

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.