Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2016 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som «graftegner» og «CAS» skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BKM

Regn ut og skriv svaret på standardform

$\frac{1, 8 \cdot 10^{12}}{0, 0005}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan begynne med å skrive telleren og nevneren om til

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

og bruke regnereglene for potenser.

Dersom vi får både teller og nevner på standardform kan vi bruke regnereglene for potenser. I telleren gjør vi om desimaltallet til et heltall ved å multiplisere det med en tierpotens, da får vi $1, 8 \cdot 10^{12} = 18 \cdot 10^{11}$ . Nevneren kan vi skrive om, og får $0, 0005 = 5 \cdot 10^{- 4}$ . Nå kan vi regne ut

$\frac{1, 8 \cdot 10^{12}}{0, 0005} = \frac{18 \cdot 10^{11}}{5 \cdot 10^{- 4}} = \frac{18}{5} \cdot \frac{10^{11}}{10^{- 4}}$

For å regne ut brøken $\frac{18}{5}$ kan det være lurt å få $10$ nevner:

$\frac{18}{5} = \frac{18 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{36}{10} = 3, 6$ .

Da får vi videre at

$\frac{18}{5} \cdot \frac{10^{11}}{10^{- 4}} = 3, 6 \cdot 10^{10 - (- 4)} = 3, 6 \cdot 10^{15}$

Svar: $3, 6 \cdot 10^{15}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner standardform og regner med tall på denne formen finner du i artikkelen Tall på standardform.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4BKP

På tallinjen ovenfor er det merket av 12 punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene A – L på tallinjen.

Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres.

1) $4^{- 1}$

2) $4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0}$

3) $\lg 0, 001$

4) $5^{\frac{1}{2}}$

5) $\tan 45^{\circ}$

6) $\sqrt[3]{27}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her kan vi se

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

Rot

Se Kvadratrot

røtter

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

. Vi må bruke det vi vet om disse tallene til å gjøre om til hele eller desimaltall.

1) Dette er en potens. Vi vet at at $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} der a \in ℝ, a \neq 0$

og får at

$4^{- 1} = \frac{1}{4} = 0, 25$ som tilsvarer F

2) Her har vi et produkt med en potens. Vi bruker at $a^{0} = 1 for alle a \in ℝ, a \neq 0$

og får at

$4 \cdot (\frac{1}{2})^{0} = 4 \cdot 0, 5^{0} = 4 \cdot 1 = 4$ som tilsvarer L

3) Dette er en logaritme. Vi begynner med å gjøre desimaltallet til en potens, da får vi $0, 001 = 10^{- 3}$ og bruker at $\lg x^{y} = y \lg x og \lg 10 = 1$

slik at vi får

$\lg (0, 001) = \lg (10^{- 3}) = - 3$ som tilsvarer B

4) Vi vet at en potens $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a} for alle a \in ℝ slik at \sqrt[m]{a} er definert$

og får at

$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ . Vi vet at $\sqrt{4} = 2$ , må $\sqrt{5}$ være litt større enn $2$ . Da kan det enten være I eller J, men $J = 2, 5$ og siden $2, 5 \cdot 2, 5 = 6, 25$ må det tilsvare I.

5) En rettvinklet trekant med en vinkel på $45^{o}$ er likebeint og katetene vil være like lange. Tangens er forholdet mellom motstående og hosliggende katet og derfor er tan $(45^{o}) = 1$ som tilsvarer G.

6) $27$ er et kubikktall, og vi kan skrive $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3}$ og får $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}} = 3^{\frac{3}{3}} = 3$ som tilsvarer K.

Svar: 1 & F, 2 & L, 3 & B, 4 & I, 5 & G og 6 & K.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Potens

potens

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

For flere eksempler og forklaringer se lynkursene Potenser og røtter, Logaritmer og Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettene, potenser og logaritmer i Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BKW

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 2 x + 3 \\ - x + y = 1 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan bruke den andre likningen til å finne et uttrykk for $y$ og bruke dette uttrykket i den første likningen; altså kan vi bruke innsettingsmetoden, som er samme metode som substitusjonsmetoden.

Vi har likningssystemet

$\begin{matrix} (1) & x^{2} + y^{2} = 2 x + 3 \\ (2) & - x + y = 1 \end{matrix}$ .

For å løse dette likningssystemet kan vi bruke innsettingsmetoden. Vi ser at i (2) kan vi finne et uttrykk for $y$ ,

$- x + y = 1 \Rightarrow y = 1 + x$

Dette uttrykket kan vi sette inn for $y$ i (1) slik at vi får en likning med bare én ukjent.

Da får vi

$x^{2} + (1 + x)^{2} = 2 x + 3$

$x^{2} + 1 + 2 x + x^{2} = 2 x + 3$

$2 x^{2} + 2 x - 2 x = 3 - 1$

$2 x^{2} = 2$

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{2}{2}$

$x^{2} = 1$

$x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$

$x = 1$ og $x = - 1$ .

Vi setter inn for $x = 1$ og $x = - 1$ i (2) for å finne $y$ . Da får vi $y = 1 + 1 = 2$ og $y = 1 + (- 1) = 0$ , så likningen har altså to løsninger.

Svar: $x = 1, y = 2$ eller $x = - 1, y = 0$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssett

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Likningssystemer og Substitusjonsmetoden.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BKY

Løs ulikheten

$2 x^{2} + 3 x > 2$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her har vi en andregradsulikhet og vi kan bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til å

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisere

andregradsuttrykket og tegne et

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Vi begynner med å samle alle leddene på venstre side av ulikheten slik at vi får

$2 x^{2} + 3 x - 2 > 0$

Nå kan vi finne nullpunktene til ${2 x}^{2} + 3 x - 2$ ved hjelp av

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

og bruke disse til å faktorisere uttrykket. Dersom

{a x}^{2} + b x + c

har nullpunkt

x = x_{1} og x = x_{2}

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Vi setter inn i abc-formelen for å finn nullpunktene

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{- 3 \pm 5}{4}$

Da får vi

$x_{1} = \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ og $x_{2} = \frac{- 3 - 5}{4} = \frac{- 8}{4} = - 2$

Så vi kan skrive

$2 x^{2} + 3 x - 2 = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - (- 2)) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x + 2)$ .

Vi lager fortegnslinger for hver av faktorene $2$ , $x - \frac{1}{2} og x + 2$

Fortegnssjemaet til $2 (x - \frac{1}{2}) (x + 2)$ :

Fra fortegnsskjema ser vi at $2 x^{2} + 3 x - 2 > 0$ for $x < - 2$ og for $x > \frac{1}{2}$ , så løsningsmengden blir $L = ⟨ \leftarrow, - 2 ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{2}, \to ⟩$ .

Svar: $x \in ⟨ \leftarrow, - 2 ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{2}, \to ⟩$

Mer om

Denne oppgaven handler om ulikheter.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser ulikheter finner du i lynkurset Ulikheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ulikheter av andre grad i Treningsleiren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4BL0

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

a)

$(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{3})$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi har et produkt at to nesten like parenteser, der kun det andre leddet har motsatt fortegn i den andre parentesen, og da kan vi bruke

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

til å regne ut.

Vi ser at dette er utrykk på formen $(a + b) (a - b)$ der $a = \sqrt{6}$ og $b = \sqrt{3}$ . Ifølge konjugatsetningen er

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ . Dette bruker vi til å regne ut uttrykket vårt og får

$(\sqrt{6} - \sqrt{3}) (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = {\sqrt{6}}^{2} - {\sqrt{3}}^{2} = 6 - 3 = 3$

Svar: $3$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Kvadratsetningene.

For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratsetningene i Treningsleiren.

b)

$\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{10} \cdot \sqrt{8}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å regne ut kan vi

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisere

tallene under rottegnene og se om vi kan forenkle leddene ved å trekke ut tall fra røttene og trekke sammen ledd med like tall under rottegnet.

$\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{10} \cdot \sqrt{8}$

$= \sqrt{9 \cdot 5} + \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 5} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}$

$= 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

$= 5 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}$

$= \sqrt{5}$

Svar: $\sqrt{5}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Kvadratrot

Kvadratrot har symbolet $\sqrt{}$ .

Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi $4 \cdot 4 = 16$ . Det skrives $\sqrt{16} = 4$ .

kvadratrøtter.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan finner du i lynkurset Potenser og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4BL4

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{2 x^{2} - 50}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en brøk med andregradsuttrykk i teller og nevner. For å forkorte en brøk må vi ha samme faktor i

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

telleren

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

så vi kan faktorisere teller og nevner og se om de har felles faktorer.

Vi skal faktorisere telleren og nevneren for seg. Vi begynner med telleren. Den minner oss om

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

første kvadratsetning

$x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 2 \cdot (5 x) + 5^{2} = {(x + 5)}^{2}$

Videre ser vi på nevneren. Vi kan begynne med å faktorisere

${2 x}^{2} - 50 = 2 (x^{2} - 25)$

For den andre faktoren i nevneren ser det ut til at vi kan bruke

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

$2 (x^{2} - 25) = 2 (x^{2} - 5^{2}) = 2 (x - 5) (x + 5)$

Nå ser vi at telleren og nevneren har én fellesfaktor, $(x + 5)$ slik at vi kan forkorte brøken:

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{2 x^{2} - 50} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{2 (x - 5) (x + 5)} = \frac{(x + 5)}{2 (x - 5)}$

Her kan vi ikke gjøre noe mer, og vi har skrevet brøken så enkelt som mulig.

Svar: $\frac{x + 5}{2 (x - 5)}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

første kvadratsetning

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Kvadratsetningene.

For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratsetningene i Treningsleieren.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BL6

Løs likningen

$2 \lg x + 8 = 2 - \lg x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

med

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

, og vi husker at

x = 10^{lg x}

Vi begynner med å samle alle leddene med logaritmer på en på en side av likningen. Husk at for å $lg x$ må vi ha $x > 0$ .

$2 \lg x + 8 = 2 - \lg x$

$2 \lg x + \lg x = 2 - 8$

$\frac{3 \lg x}{3} = \frac{- 6}{3}$

$\lg x = - 2$

Nå han vi bruke at $x = 10^{\lg x}$ , og tar $10$ opphøyd i hver side av likningen.

$10^{lgx} = 10^{- 2}$

$x = 0, 01 = \frac{1}{100}$

Svar: $x = \frac{1}{100}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Logaritmelikninger og for mer om regning med logaritmer se lynkurset Logaritmer.

For å øve mer, se oppgavesettet om likninger med logaritmefunksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BL8

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{1}{12} - \frac{4 x + 5}{6 x + 12}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å trekke sammen brøker, må vi ha

Fellesnevner

Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.

Eksempel: $\frac{2}{21} + \frac{1}{6} = \frac{4}{42} + \frac{7}{42}$ , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.

fellesnevner

. Da kan vi faktorisere og

Utvide brøk

Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.

Eksempel: $\frac{3}{7}$ er utvidet til $\frac{6}{14}$ , fordi $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

utvide brøkene

før vi trekker de sammen. Deretter kan vi forkorte felles faktorer i teller og nevner.

Vi begynner med på faktorisere nevnere i brøkene for å finne fellesnevner.

$4 x + 8 = 4 (x + 2) = 2 \cdot 2 (x + 2)$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

$6 x + 12 = 6 (x + 2) = 2 \cdot 3 (x + 2)$

Fellesnevneren her blir da $2 \cdot 2 \cdot 3 (x + 2)$ .

Vi kan nå

Utvide brøk

Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.

Eksempel: $\frac{3}{7}$ er utvidet til $\frac{6}{14}$ , fordi $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

utvide brøkene

slik at hver av dem får fellesnevner. Deretter kan vi sette dem på felles brøkstrek og trekke sammen.

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{1}{12} - \frac{4 x + 5}{6 x + 12}$

$= \frac{x}{2 \cdot 2 \cdot (x + 2)} + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{4 x + 5}{2 \cdot 3 \cdot (x + 2)}$

$= \frac{3 \cdot x}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (x + 2)} + \frac{(x + 2)}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (x + 2)} - \frac{2 \cdot (4 x + 5)}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (x + 2)}$

$= \frac{3 x + x + 2 - 2 \cdot (4 x + 5)}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (x + 2)}$

$= \frac{- 4 x - 8}{12 x + 24}$

$= - \frac{4 x + 8}{12 x + 24}$

Vi ser nå at $4$ er felles faktoren i telleren og nevneren slik at vi kan forkorte brøken

$- \frac{4 x + 8}{12 x + 24} = - \frac{4 (x + 2)}{4 (3 x + 6)} = - \frac{x + 2}{3 x + 6}$

Nevneren faktoriseres ytterligere og vi får

$- \frac{x + 2}{3 x + 6} = - \frac{x + 2}{3 \cdot (x + 2)} = - \frac{1}{3}$

Svar: $- \frac{1}{3}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

, forkorte brøk og

Utvide brøk

Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.

Eksempel: $\frac{3}{7}$ er utvidet til $\frac{6}{14}$ , fordi $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

utvide brøk

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Parenteser og faktorisering og mer om brøker ser du i lynkurset Polynomdivisjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om forenkling av sammensatte rasjonale uttrykk i Treningsleiren.

Oppgave 9 (4 poeng) Nettkode: E-4BLB

Snorre har seks blå og fire rosa ballonger. Han tar tilfeldig tre ballonger.

a)

Bestem sannsynligheten for at han tar tre blå ballonger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Hvis Snorre skal ta tre blå ballonger (BBB), må den første, den andre og den tredje ballongen han velger være blå. Vi skal derfor finne

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

og bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Der er $6$ blå og $4$ rosa ballonger; totalt $10$ ballonger. Snorre skal trekke tre tilfeldige ballonger ut fra disse.

Sannsynligheten for at han trekker en blå ballong første gang, er

$P (første ballong blå) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Vi antar nå at han trakk en blå ballong på første. Siden vi nå har fjernet én blå ballong er det nå 9 ballonger, og av disse er 5 blå. Da blir sannsynligheten for at han trekker en blå ballong andre gangen, lik

$P (andre ballong blå) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{5}{9}$

Hvis Snorre igjen trakk en blå ballong, er det nå $8$ ballonger igjen, hvorav $4$ er blå. Sannsynligheten for at han trekker en blå ballong tredje gang er da

$P (tredje ballong blå) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at Snorre trekker en blå ballong alle tre gangene, er sannsynligheten for at alle de tre hendelsene over har skjedd. Produktsetningen sier dermed at

$P (tre blå ballonger) = P (første ballong blå) \cdot P (andre ballong blå) \cdot P (tredje ballong blå)$

$= \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{9 \cdot 2} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Svar: $P (tre blå ballonger) = \frac{1}{6}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at han tar minst én rosa ballong.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Enten trekken Snorre tre blå ballonger, eller så trekker han minst én rosa ballong. Vi sier at de to hendelsene er

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplementære

Hendelsene at Snorre trekker tre blå ballonger og at han trekker minst én rosa er komplementære, og summen av sannsynligheten for to komplementære hendelser er $1$ , og vi må ha at

$P (tre blå ballonger) + P (minst én rosa) = 1$

og dermed er

$P (minst én rosa) = 1 - P (tre blå ballonger)$

I deloppgave a) fant vi at $P (tre blå ballonger) = \frac{1}{6}$ , og da får vi

$P (minst én rosa) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Svar: $\frac{5}{6}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om utfallsrom i Treningsleieren.

c)

Bestem sannsynligheten for at han tar én rosa og to blå ballonger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Snorre kan trekke to blå og én rosa på flere måter. Vi kan finne sannsynligheten for de ulike måtene og bruke

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

For at Snorre skal trekke én rosa ballong og to blå, kan han enten

$R B B$ - trekke en rosa først, og deretter to blå,

$B R B$ - først trekke en blå, deretter en rosa, og til slutt en blå, eller

$B B R$ - trekke to blå og deretter en rosa.

Vi har altså hendelsene $R B B, B R B og B B R$ . NÅ kan vi regne ut sannsynligheten for hver av disse hendelsene.

Vi begynner med hendelsen $R B B$ . Vi begynner med $10$ ballonger, hvorav $4$ er rosa. Sannsynligheten for at den første ballongen er rosa er $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Når Snorre har trukket den rosa ballongen er det $9$ igjen, hvorav $6$ er blå. Sannsynligheten for at den neste ballongen er blå, blir da $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Før Snorre trekker den siste ballongen er det $8$ ballonger igjen, hvorav $5$ er blå. Da blir sannsynligheten for at den siste ballongen er blå, lik $\frac{5}{8}$ .

Totalt har vi dermed $P (R B B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 8} = \frac{1}{6}$

Sannsynlighetene for de andre hendelsene regner vi ut på tilsvarende måte, og vi får at

$P (B R B) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{6}$ og

$P (B B R) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{6}$

Siden de tre hendelsene BBR, BRB og RBB er uavhengige, bruker vi addisjonssetningen og finner sannsynligheten for én rosa og to blå ballonger:

$P (to blå og én rosa ballong) = P (B B R) + P (B R B) + P (R B B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Svar: $P (to blå og én rosa ballong) = \frac{1}{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Addisjonssetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om addisjonssetningen i Treningsleieren.

Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4BLK

Funksjonene $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} - 2 x + 9$

$g (x) = x^{2} - 10 x + 9$

$h (x) = x^{2} + 6 x + 9$

I koordinatsystemet ovenfor ser du grafene til $f$ , $g$ og $h$ .

Hvilken graf er grafen til $f$ , hvilken graf er grafen til $g$ , og hvilken graf er grafen til $h$ ? Begrunn svarene dine.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi ser at en ting som skiller de tre grafene, A,B og C fra hverandre er at de har forskjellig antall nullpunkter.

Et andregradsuttrykk ${a x}^{2} + b x + c$ har

  - ingen nullpunkter (B) hvis og bare hvis $b^{2} - 4 a c < 0$

  - ett nullpunkt (A) hvis og bare hvis $b^{2} - 4 a c = 0$

  - to nullpunkter (C) hvis og bare hvis $b^{2} - 4 a c > 0$

Dette kan vi bruke til å bestemme hvilke funksjoner og grafer som hører sammen. Vi regner ut $b^{2} - 4 a c$ for $f$ , $g$ og $h$ :

Vi begynner med funksjonen $f$ :

$b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = - 32 < 0$

Dette betyr at ikke har noen $f$ nullpunkter, og da må vi ha at B er grafen til $f$ .

Vi fortsetter med å se på $g$ :

$b^{2} - 4 a c = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 > 0$

Funksjonen $g$ har altså to nullpunkter, og dermed må grafen til $g$ være C.

Da må vi ha at grafen til $h$ er A, men vi sjekker for $h$ også:

$b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

$h$ har et nullpunkt, og dette stemmer med grafen A.

Alternativ

Vi kan finne bunnpunktene til funksjonene ved å derivere dem og finne når den deriverte er null. Da kan vi deretter sammenlikne med bunnpunktene til grafene.

Vi kan begynne med å se på hver av funksjonene:

$f^{'} (x) = (x^{2} - 2 x + 9)^{'} = 2 x - 2$

Vi vil nå finne når $f' (x) = 0$ og løser likningen

$2 x - 2 = 0 \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1$

Funksjonen $f$ har bunnpunkt når $x = 1$ .

Vi fortsetter med å se på funksjonen

og likningen

$2 x - 10 = 0 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$

Dette gir at funksjonen $g$ har bunnpunkt når $x = 5$ .

For den siste funksjonen $h$ har vi at

$h^{'} (x) = (x^{2} + 6 x + 9)^{'} = 2 x + 6$

Bunnpunktet må da være når

$2 x + 6 = 0 \Rightarrow 2 x = - 6 \Rightarrow x = - 3$

Sammenlikner vi disse svarene med bunnpunktene til grafene får vi at

B må være grafen til $f$ , C må være grafen til $g$ og A er grafen til $h$ .

Svar: $f$ tilsvarer B, $g$ tilsvarer C, $h$ tilsvarer A.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

Flere forklaringer og eksempler finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkter i Treningsleiren.

Oppgave 11 (2 poeng) Nettkode: E-4BLM

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

a)

Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 2$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Den

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentane vekstfarten

til

f

når

x = 2

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenten

til

f

i punktet

x = 2

. Det kan vi finne ved å derivere

f (x)

og regne ut

f^{'} (2)

. Vi har et flerleddet uttrykk, og da kan vi derivere ledd for ledd.

Vi finner den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 2$ ved å finne $f' (2)$ .

Vi starter med å derivere $f$ , som er flerleddet uttrykk. Da kan vi derivere ledd for ledd.

$f^{'} (x) = (x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4)'$

$= (x^{3})^{'} - (5 x^{2})^{'} + (3 x)^{'} + (4)^{'}$

$= 3 x^{2} - 5 \cdot 2 x + 3 + 0$

$= 3 x^{2} - 10 x + 3$

Nå kan vi regner ut $f^{'} (2)$ ved å sette inn $x = 2$ :

$f^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 3 = 12 - 20 + 3 = - 5$

Svar: Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 2$ er $- 5$ .

Mer om

Denne oppgavne er om

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Å finne tangenten i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleieren.

b)

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1, 3]$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Den

Gjennomsnittlig vekstfart

En funksjon $f (x)$ har gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

mellom $x_{2}$ og $x_{1}$ . Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.

gjennomsnittlige vekstfarten

til

f

i intervallet

[1, 3]

er det samme som

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til linja som går igjennom punktene

(1, f (1))

(3, f (3))

Vi kan finne den gjennomsnittlige vekstfarten ved å finne stigningstallet til linja som går gjennom punktene $(1, f (1))$ og $(3, f (3))$ . Stigningstallet til linja kan vi finne ved

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{f (3) - f (1)}{3 - 1}$ .

Men før vi kan finne stigningstallet, må vi regne ut $f (1)$ og $f (3)$ :

$f (1) = 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 5 + 3 + 4 = 3$

$f (3) = 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 4 = 27 - 45 + 9 + 4 = - 5$

Nå kan vi finne stigningstallet, og med det den gjennomsnittlige vekstfarten, ved å sette inn for $f (1) og f (3)$ :

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{f (3) - f (1)}{3 - 1} = \frac{- 5 - 3}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$

Svar: Den gjennomsnittelige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1, 3]$ er $- 4$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Gjennomsnittlig vekstfart

En funksjon $f (x)$ har gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

mellom $x_{2}$ og $x_{1}$ . Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.

gjennomsnittlig vekstfart

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Gjennomsnittlig og momentan vekstfart i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet veksthastighet i Treningsleieren.

Oppgave 12 (4 poeng) Nettkode: E-4BLQ

Figuren ovenfor er satt sammen av en rettvinklet trekant $A B C$ og tre likesidede trekanter.

$A B = 8$ og $B C = 10$ .

a)

Vis at arealet av den grå trekanten er $25 \sqrt{3}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne

Høyde

Lengden av et linjestykke som står normalt på ei linje eller en flate.

høyden

til trekanten. Siden den er likesidet vil høyden dele grunnlinjen

B C

i to. Vi kan bruke dette og Pytagoras til å finne høyden, og med det regne ut arealet til trekanten.

Arealet av en trekant er gitt ved formelen $A = \frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} = \frac{g \cdot h}{2}$ . Vi kjenner grunnlinjen, $g = B C = 10$ , så da gjenstår det å finne høyden.

Vi markerer det siste hjørnet i trekanten som $D$ . Høyden i en trekanten finner vi ved å felle en

Normal

En linje som står 90 grader på en annen linje.

normal

fra

D

, ned på grunnlinjen,

B C

. I en

Likesidet trekant

I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60°.

likesidet trekant

er dette

Midtnormal

Midtnormalen til et rett linjestykke er den rette linja som går gjennom linjestykkets midtpunkt, og som står vinkelrett på linjestykket.

midtnormal

, altså halverer høyden grunnlinjen.

Høyden fra $D$ ned på $B C$ treffer $B C$ i punktet $P$ . Siden $Δ B C D$ er likesidet, er $B C = C D = B D = 10$ . Høyden halverer $B C$ , så vi har at $B P = C P = 5$ .

$Δ B D P$ er rettvinklet, så nå kan vi bruke Pytagoras læresetning tilå finne høyden, $h = D P$ :

${C P}^{2} + {D P}^{2} = {C D}^{2}$

$h^{2} = 10^{2} - 5^{2} = 100 - 25 = 75$

$h = \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 5} = 5 \sqrt{3}$

Nå har vi grunnlinjen og høyden til trekanten, så da kan vi sette inn i formelen for arealet av en trekant.

$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 5 \sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Grunnlinje

Grunnlinja er en av sidene i en todimensjonal figur.

Alle sidene kan være grunnlinje. Når vi skal finne høyden i en trekant, må vi vurdere hvilken av sidene som er mest egnet som grunnlinje.

grunnlinje

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen En trekant i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleieren.

b)

Vis at arealet av den grønne og den blå trekanten til sammen er like stort som arealet av den grå trekanten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Hvis vi vet sidelengdene til $Δ A B C$ , kan vi gå fram akkurat som i deloppgave a) for å finne arealene av den grønne og blå trekanten. Siden $Δ A B C$ er en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

, kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

til å finne

A C

Vi begynner med å finne arealet av den blå trekanten, og kan bruke samme framgangsmåte som i deloppgave a) for å finne høyden i trekanten.

${h_{b l å}}^{2} = 8^{2} - 4^{2} = 64 - 16 = 48$

$h_{b l å} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}$

Arealet av den blå trekanten blir dermed

$A_{b l å} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3}$

Videre finne vi arealet av den grønne trekanten. Da må vi først finne lengden $A C$ . $Δ A B C$ er en rettvinklet trekant, og vi kan dermed bruke Pytagoras læresetning:

${A B}^{2} + {A C}^{2} = {B C}^{2}$

$A C^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36$

$A C = \sqrt{36} = 6$

Igjen kan vi bruke samme framgangsmåte som i deloppgave a). Vi finner vi høyden i den grønne trekanten:

$h^{2} = 6^{2} - 3^{2} = 36 - 9 = 27$

$h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}$

Arealet av den grønne trekanten blir da = $A_{g r ø n n} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 3 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}$ .

Vi kan nå addere arealen av den grønne og den blå trekanten

$9 \sqrt{3} + 16 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}$ ,

og vi ser at dette er det samme arealet som den grå.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Pytagoras læresetning

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Pytagoras læresetning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleieren.

Oppgave 13 (2 poeng) Nettkode: E-4BLX

I koordinatsystemet ovenfor er det lagt inn en vinkel på $53^{\circ}$ med toppunkt i origo og en kvart sirkel med sentrum i origo og radius $r = 1$ .

Bruk koordinatsystemet til å bestemme tilnærmede verdier for $\sin 53^{\circ}$ , $\cos 53^{\circ}$ og $\tan 53^{\circ}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her gjelder det å bruke definisjonene av

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

. I en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

kan disse uttrykkes som forhold mellom

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katetene

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenusen

Vi kaller toppunktet til vinkelen for $A$ og punktet der det øvre vinkelbeinet skjærer sirkelen for $C$ . Vi feller en normal fra $C$ ned på $x$ -aksen, og kaller skjæringspunktet $B$ . Se figuren under.

Da har vi en rettvinklet trekant $A B C$ . Sirkelen har radius $r = 1$ , og da må $A C = 1$ . Punktet $C$ sine koordinater er omtrent $(0, 6, 0, 8)$ , og da må vi ha at katetene $A B = 0, 6$ og $B C = 0, 8$ .

Nå kan vi bruke definisjonene av sinus, cosinus og tangens for å bestemme de tilnærmede verdiene.

$\sin (53 °) = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{B C}{A C} = \frac{0, 8}{1} = 0, 8$

$\cos (53 °) = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{A B}{A C} = \frac{0, 6}{1} = 0, 6$

$\tan (53 °) = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{B C}{A B} = \frac{0, 8}{0, 6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$

Svar: $\sin (53 °) = 0, 8; \cos (53 °) = 0, 6; \tan (53 °) = 1, 33$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Flere forklaringer og eksempler på hvordan vi finner sinus og cosinus finner du i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om vinkelberegeninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleieren.

Oppgave 14 (4 poeng) Nettkode: E-4BM0

Gitt en funksjon $f$ . Ovenfor ser du grafen til den deriverte av funksjonen.

a)

For hvilken verdi av $x$ har grafen til $f$ et toppunkt?

For hvilken verdi av $x$ har grafen til $f$ et bunnpunkt?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser grafen til den deriverte til $f$ , og når den deriverte til en funksjon er positiv stiger funksjonen, og når den deriverte er negativ synker funksjonen. Derfor er vi interessert i å se hvor $y$ -verdiene til

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

er positiv og negativ

Der grafen til den deriverte er positiv, vil $f$ stige og er grafen til deriverte er negativ, vil $f$ synke. Utfra grafen til $f'$ kan vi se at stigningstallet er positivt for $x < 0 og x > 4$ og negativt for $0 < x < 4$ . Vi kan bruke dette til å

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnslinjen

til

f^{'}

Hvis vi ser på fortegnslinja til $f^{'}$ kan vi se vi at $f$ vil stige fram til $x = 0$ , deretter vil den synke mellom $0$ og $4$ , for så å stige igjen. Toppunktet til $f$ må være når $x = 0$ , og bunnpunktet til $f$ må være når når $x = 4$ .

Svar: Toppunkt: $x = 0$ , bunnpunkt: $x = 4$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

For flere eksempler og eksempler se artikkelen Topp- og bunnpunkter i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleieren.

b)

Punktet $(2, - 3)$ ligger på grafen til $f$ .

Bestem likningen for tangenten til grafen i dette punktet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

En tangent

er en rett linje. Vi må finne

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

for å bestemme likningen til tangenten. Stigningstallet er det samme som den deriverte til funksjonen i punktet med denne

x

-verdien.

Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte, $f' (2)$ . Vi leser av grafen til $f^{'}$ at $f^{'} (2) = - 2$ . Dette betyr at stigningstallet til tangenten til $f$ når $x = 2$ er $- 2$ .

Siden tangenten er en rett linje med stigningstallet $- 2,$ er den på formen $y = - 2 x + b$ . Konstantleddet finner vi ved å bruke at linja går gjennom punktet $(2, - 3)$ .

Vi bruker ettpunktsformelen til å finne kontstantleddet $b$ :

$y - y_{1} = a (x - x_{1})$

$y - (- 3) = - 2 (x - 2)$

$y + 3 = - 2 x + 4$

$y = - 2 x + 1$

Svar: Likningen til tangenten til $f$ i punktet $(2, - 3)$ er gitt ved $y = - 2 x + 1$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstant

Flere forklaringer og eksempler på hva en tangent er finner du i artikkelen Å finne tangenten og mer om ettpunktsformelen i artikkelen Ettpunktsformelen og likningen for tangentlinjen. Orakelet har også vist hva ettpunktsformelen er.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4BNW

Anta at antall registrerte elbiler i Norge $x$ år etter 2010 tilnærmet er gitt ved funksjonen $g$ der

$g (x) = 560 x^{3} - 176 {7 x}^{2} + 2501 x + 2577, x \in [0, 8]$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

for å tegne

Graf

grafen

til

g

Vi kan bruke GeoGebra og kommandoen Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]. Vi vil tegne grafen for $x \in [0, 8]$ , altså slik at grafen viser for 2010-2018.

Vi skriver inn

$g (x) = Funksjon [560 x^{\land} 3 - 1767 x^{\land} 2 + 2501 x + 2577, 0, 8]$

i inntastingsfeltet. Vi tilpasser aksene og setter på navn.

Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer om funksjoner se lynkursene Funksjoner (del II) og Funksjonsdrøfting. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

b)

Bestem $g (4)$ og $g' (4)$ .

Hva forteller disse verdiene om antall elbiler?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke CAS for å finne $g (4)$ og $g^{'} (4)$ . Alternativt kan vi kan vi bruke grafen og finne tangenten til funksjonen i punktet $(4, g (4))$ , da er $g' (4)$

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenten

I deloppgave a) definerte vi funksjonen $g$ , så vi kan bruke samme GeoGebra-fil til å finne $g (4)$ og $g' (4)$ .

Vi finner CAS i "Vis"-menyen i GeoGebra. I første feltet skriver vi inn "g", for å sjekke at den er definert.

For å finne $g (4)$ skriver vi inn "g(4)" i neste felt. Da får vi at $g (4) = 20149$ . Her har vi satt inn $x = 4$ i funksjonen vår, så dette forteller oss at $4$ år etter $2010$ , i $2014$ , vil det være $20149$ registrerte elbiler i Norge.

Nå skal vi finne $g' (4)$ , og da skriver vi "g'(4)" inn i neste felt i CAS. Da får vi opp at $g' (4) = 15245$ . Den deriverte forteller oss om stigningen i punktet, så i $2014$ økte salget av elbiler med $15245$ biler per år.

Alternativ løsning

Vi kan finne punktet på grafen når $x = 4$ ved å skrive "(4,g(4))" i inntastingsfeltet. Da får vi opp punktet $A = (4, 20149)$ , som forteller oss at $g (4) = 20149$ .

For å finne tangenten i dette punktet, bruker vi kommandoen Tangent[<Punkt>,<Funksjon>] og skriver inn "Tangent[A, g]". Da får vi opp linjen $y = 15245 x - 40831$ og leser av at stigningstallet er $15245$ , altså er $g' (4) = 15245$

Disse to verdiene forteller oss at i $2014$ var det registrert $20149$ elbiler og da økte salget av elbiler med $15245$ per år.

Svar: $g (4) = 20149$ og $g' (4) = 15245$ som forteller oss at i $2014$ var det registrert $20149$ elbiler og salget økte med $15245$ per år.

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere eksempler og forklaringer om tangent se artikkelen Å finne tangenten lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4BO0

Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.

Årstall

2002

2004

2006

2009

2012

Prosent røykere i

aldersgruppen 16-74 år

La $x$ være antall år etter 2002. (La $x = 0$ svare til år 2002, $x = 1$ til år 2003, osv.)

a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke regresjonsfunksjonen i GeoGebra til å finne den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjonen

som passer best til informasjonen som er oppgitt.

Det første vi må gjøre er å legge inn informasjonen vi har i et regneark i GeoGebra. Det får vi opp ved å velge "Regneark" i "Vis"-menyen.

Vi legger inn antall år etter $2002$ i første kolonne og prosentandel i andre kolonne.

Nå kan vi markere rutene og velge "Regresjonsanalyse" i nedrykksmenyen på knappen med et histogram på. I vinduet som kommer opp velger vi "Analyser".

Da får vi opp

Vi vil ha en lineær modell, så da velger vi "Lineær" under "Regresjonsmodell", og får opp

Her kan vi se at $y = - 1, 28 x + 28, 9$ er den lineære funksjonen som passer best til informasjonen vi har fått oppgitt.

Alternativ

Etter vi har skrevet inn all informasjonen i regnearket er et annet alternativ og markere alle rutene, høyreklikke og velge "Liste med punkt" under "Lag". Da blir det laget en liste, Liste1, med alle punktene.

Deretter kan vi bruke kommandoen RegLin[<Liste med punkt>], så vi skriver inn "RegLin[Liste1]" og får den lineære funksjonen som passer med punktene.

Vi ser at den lineære funksjonen $y = - 1, 28 x + 28, 9$ passer med den informasjonen vi har fått.

Svar: $y = - 1, 28 x + 28, 9$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Regresjon 1.

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

b)

Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å vurdere om funksjonen kan beskrive videre utvikling, kan vi lese av grafen fra a)

Fra deloppgave a) har vi grafen til den lineære funksjonen:

Vi ser at etter $x = 22$ , altså i år $2024$ vil andelen være mindre enn $0 %$ . Dermed kan ikke modellen være gyldig helt til år $2025$ . Dette betyr likevel ikke at den ikke er gyldig lenger enn til $2012$ , men den vil etterhvert bli dårligere.

Svar: Funksjonen kan ikke brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Flere eksempler på funksjoner og funksjonsuttrykk finner du i lynkursene Funksjoner (del I) og Funksjoner (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4BO3

I en 1T-gruppe er det 26 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår.

- 20 elever har valgt faget R1.

- 16 elever har valgt faget Fysikk 1.

- 6 elever har verken valgt R1 eller Fysikk 1.

a)

Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi skal lage

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

eller et Venn-diagram. Da må vi begynne med den informasjonene vi har fått oppgitt, og fylle inn resten etterpå.

For å sortere dataer og gjøre det enklere å få en oversikt, kan vi enten lage krysstabell eller Venn-diagram. Vi lager en krysstabell her, og viser Venn-diagrammet i alternativ løsning.

Krysstabellen lager vi ved å bestemme oss for de ulike kategoriene som er rader og kolonner og fyller ut tabellen.

Vi kan begynne med å sette opp en tabell med bare kategoriene:

	Fysikk 1	Ikke Fysikk 1	Sum
R1
Ikke R1
Totalt

Vi fortsetter med å fylle inn den informasjonen vi har fått oppgitt i oppgaven:

	Fysikk 1	Ikke Fysikk 1	Sum
R1			20
Ikke R1		6
Totalt	16		26

Vi vet at det er $26$ elever i klassen, så da kan vi bruke dette til å finne de siste tallene.

Det er $20$ elever som har valgt R1, siden det totalt er $26$ elever betyr det at det må være $6$ elever som ikke har valgt R1, og disse $6$ har heller ikke Fysikk 1. Det vil si at vi ikke har noen elever som har valgt Fysikk 1, og ikke har valgt R1.

Vi fyller inn denne informasjonen i tabellen.

	Fysikk 1	Ikke Fysikk 1	Sum
R1			20
Ikke R1	0	6	6
Totalt	16		26

Det betyr at alle som har valgt Fysikk 1 også har R1, altså har vi $16$ elever som har Fysikk 1 og R1. Siden det er $20$ elever som har valgt R1, må vi ha $4$ elever som har valgt R1, men ikke Fysikk 1.

Da kan vi fylle inn den siste informasjonen i tabellen.

	Fysikk 1	Ikke Fysikk 1	Totalt
R1	16	4	20
Ikke R1	0	6	6
Totalt	16	10	26

Alternativ

Vi kunne også velge å systematisere opplysningene i et venndiagram. Det vil se ut omtrent slik som dette:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

og Venn-diagram.

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Venn-diagram og mengdelære i lynkurset Sannsynlighet (del II).

b)

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra gruppen har valgt R1, men ikke Fysikk 1.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Sidene det er tilfeldig trekning har vi uniform sannsylighet. Vi skal se på forholdet mellom

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstig utfall

og alle mulige utfall, og kan bruke krysstabellen eller venn-diagrammet fra a).

Uniform sannsynlighet er gitt ved

$\frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall}$

Gunstig utfall er at en valgt elev har valgt R1 men ikke Fysikk 1. Vi leser fra krysstabellen at antall gunstige utfall er 4.

Siden vi velger en tilfeldig elev fra gruppen, er antall mulige utfall hele gruppen, altså 26.

$P (R1, ikke Fysikk 1) = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall} = \frac{4}{26} = \frac{2}{13} \approx 0, 154 = 15, 4 %$

Svar: $\frac{2}{13} \approx 0, 154 = 15, 4 %$

Mer om

Denne oppgaven handler om uniform sannsynlighet og

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstig utfall

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet? i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om uniforme sannsynlighetsmodeller i Treningsleieren.

c)

Det viser seg at eleven som er trukket ut, har valgt Fysikk 1.

Bestem sannsynligheten for at denne eleven også har valgt R1.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi ser på en uniform sannsynlighet der antall gunstige er elever som har valgt både Fysikk 1 og R1, og antall mulige er elever som har valgt Fysikk 1.

Vi ser nøye på krysstabellen i deloppgave a) og finner ut raskt at alle som har valgt Fysikk 1 også har valgt R1. Dette betyr at antall gunstige utfall er lik antall mulige utfall og derfor er sannsynligheten lik $100 %$ .

Vi viser også ved regning. Antall mulige utfall er lik antallet som har valgt Fysikk 1, altså 16. Av disse har alle 16 også alle valgt R1 slik at antall gunstige utfall er 16.

$P (Fysikk 1 |R 1) = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall} = \frac{16}{16} = 1 = 100 %$

Svar: Sannsynlighet for at en elev som har valgt Fysikk 1 også har valgt R1 er lik $1 = 100 %$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

og uniform sannsynlighet.

For flere forklaringer og eksempler se artikelene Betinget sannsynlighet og Hvordan finner vi uniform sannsynlighet? i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet og uniforme sannsynlighetsmodeller i Treningsleieren.

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4BO7

I en rettvinklet trekant $A B C$ er $∠ A = 53^{\circ}$ og $A B = 10$ .

a)

Forklar at det fins to trekanter $A B C$ som oppfyller disse betingelsene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi har bare fått oppgitt at trekanten er rettvinklet, men ikke hvor den rette vinkelen er. Den kan være $∠ B eller ∠ C .$ Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

og tegner trekantene.

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne trekantene. Da begynner vi med å tegne inn den informasjonen vi har fått oppgitt:

Vi vet at $C$ vil ligge på det venstre vinkelbeinet, men vi vet ikke helt hvor, for vi vet ikke hvilken av vinklene $∠ B eller ∠ C$ som er rettvinklet.

For å se de to alternativene kan vi felle en normal fra $B$ ned på det venstre vinkelbeinet, og der de to skjærer vil punktet $C$ ligge. Da vil vi ha $∠ C = 90^{\circ}$ .

Vi kan også ha $∠ B = 90^{\circ}$ , og da vil $Δ A B C$ bli slik:

Svar: Siden vi ikke vet hvilken vinkel som er rettvinklet, vil vi få to trekanter.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkler

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Trekanter.

For å øve mer, se oppgavesettet om trekantberegninger i Treningsleiren.

b)

Bestem $B C$ for hver av de to trekantene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Siden vi har

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

kan vi bruke definisjonene av

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

til å finne lengden til

B C

Vi har to rettvinklede trekanter og da kan vi bruke definisjonene på sinus og tangens til å bestemme $B C$ i de to trekantene. Vi kan bruke CAS som hjelpemiddel.

I den første trekanten vi fant i deloppgave a)

Her kan vi bruke sinus til å finne $B C$ . Dersom vi ser på $Δ A B C$ har vi at $A B = 10$ er hypotenusen, og $B C$ er den motstående kateten. Ved definisjon av sinus får vi

$\sin 53^{\circ} = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{B C}{A B}$

Vi kan bruke CAS til å finne lengden til BC.

Da skriver vi inn

$\sin (53^{\circ}) = B C / 10$

og trykker på " $x \approx$ "-tasten.

Da får vi opp

I den andre trekanten, med $∠ B = 90^{\circ}$ ,

kan vi bruke definisjonen av tangens til å finne $B C$ .

Nå har vi at $\tan ∠ A = \frac{motstående katet}{hosliggende katet}$ , der $B C$ er motstående katet og $A B$ er hosliggende.

Vi kan igjen bruke CAS til å finne lengden, og skriver inn

$\tan 53^{\circ} = B C / 10$

og trykker " $x \approx$ "-tasten. Da får vi

Alternativ

Vi kan også bruke resultatet fra oppgave 13 på del 1. Da fant ut at

$\sin (53^{o}) = 0, 8$ og $\tan (53^{o}) = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ .

Vi ser på de to trekantene.

I) $∠ B = 90^{\circ}$

I denne trekanten er $B C$ motstående katet og $A B = 10$ hosliggende. Da kan vi bruke definisjonen av tangens

$\tan$ $(v) = \frac{motstående katet}{hosliggende katet}$

$\tan (53^{o}) = \frac{BC}{10}$

Vi sette inn for $\tan 53^{\circ} \approx \frac{4}{3}$ og får

$\frac{4}{3} \approx \frac{B C}{10}$

$B C \approx \frac{40}{3} \approx 13, 3$

II) $∠ C = 90^{\circ}$

I denne trekanten er $B C$ motstående katet og $A B = 10$ hypotenusen. Ved å bruke definisjonen av sinus, og sette inn for $\sin 53^{\circ}$ får vi:
$\sin$ $(v) = \frac{motstående katet}{hosliggende katet}$

$\sin (53^{o}) = \frac{BC}{10}$

$0, 8 \approx \frac{B C}{10}$

$B C \approx 8$

Svar: Når $∠ B = 90^{\circ}$ , er $B C = 13, 27$ . Når $∠ C = 90^{\circ}$ , er $B C = 7, 99$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Sinus

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sinus, cosinus og tangens i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om lengdeberegninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleiren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4BOA

En funksjon $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Funksjonen har bunnpunkt $(3, - 5)$ og et nullpunkt for $x = 4$ .

Bruk CAS til å bestemme $b$ , $c$ og $d$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har tre ukjente, $b, c og d$ og vi kan bruke opplysningene vi får i oppgaven til å sette opp tre likninger som et likningssystem og bruke CAS til å løse det. Vi husker også at bunnpunktet til en funksjon forteller oss noe om den deriverte til funksjonen i det punktet.

Vi begynner med å se på informasjonen vi blir gitt.

Funksjonen har bunnpunkt $(3, - 5)$ , det betyr at $f (3) = - 5$ .

Videre får vi vite at funksjonen har et nullpunkt for $x = 4$ , som vil si at vi må ha $f (4) = 0$ .

Vi vet også at i et bunnpunkt vil den deriverte være lik $0$ , så $f' (3) = 0$ . Det gir likningssystemet

$f (3) = 5$

$f (4) = 0$

$f' (3) = 0$

Vi kan nå bruke CAS til å løse likningssystemet. Men, før vi skriver inn likningene må vi definere funksjonen $f$ . Da skriver vi inn "f(x):=x^3+b*x^2+c*x+d". Videre kan vi skrive inn de likningene vi har: "f(3)=-5", f(4)=0" og "f'(3)=0".

Til slutt bruker vi kommandoen Løs[<Liste med likninger>,<Liste med variabler>].

Siden vi har skrevet inn likningene våre i felt 2,3 og 4, kan vi skrive inn "{$2,$3,$4}" for Liste med likninger, og {b,c,d} for Liste med variabler.

Da får vi

Svar: $b = - 5$ , $c = 3$ og $d = 4$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser likningssett finner du i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente.

For å øve mer, se oppgavesettet om Likningssystemer i Treningsleiren.

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4BOD

Figuren ovenfor er satt sammen av to kvadrater. I det ene kvadratet har hver side lengde $x$ , og i det andre kvadratet har hver side lengde $y$ . Omkretsen av hele figuren er 16.

Bestem $x$ og $y$ slik at det samlede arealet av figuren blir minst mulig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan bruke det vi vet om

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

til å uttrykke

y

ved

x

, og videre uttrykke

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

som en

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

x

og bruke derivasjon til å finne det minst mulige arealet.

Omkretsen til kan uttrykkes $4 x + 4 y$ , og denne vet vi er $16$ , altså må vi ha $4 x + 4 y = 16$ . Dette kan vi bruke til å finne ut uttrykk for $y$ ;

$y = 4 - x$ .

Arealet til hele figuren er summen av arealene til de to kvadratene, så

$A = x^{2} + y^{2}$

Nå setter vi inn uttrykket for $y$ , slik at vi har en funksjon for arealet gitt ved kun $x$ :

$A (x) = x^{2} + (4 - x)^{2}$

$= x^{2} + (16 - 8 x + x^{2})$

$= {2 x}^{2} - 8 x + 16$

Siden $A (x)$ er en andregradsfunksjon med positiv andregradskoeffisient, så vet vi at $A$ har et bunnpunkt. For å finne bunnpunktet til $A (x)$ deriverer vi funksjonen og setter den deriverte lik 0:

$A^{'} (x) = ({2 x}^{2} - 8 x + 16)' = 4 x - 8$

$A^{'} (x) = 0$

$4 x - 8 = 0$

$4 x = 8$

$x = 2$

Vi setter inn for $x$ i uttrykket for $y$ :

$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

Vi har det minste arealet når $x = 2$ og $y = 2$ . Det minste arealet har vi når de to kvadratene er like store.

Alternativ

Vi kan også bruke GeoGebra til å tegne grafen til arealfunksjonen. Over fant vi ut at vi kan skrive den som

$A (x) = {2 x}^{2} - 8 x + 16$

Vi skriver den inn i GeoGebra og bruker kommandoen Ekstremalpunkt ved å skrive inn "Ekstremalpunkt[A]". Da får vi opp punktet $B = (2, 8)$ , som forteller oss at arealet er minst når $x = 2$ , og da vil vi ha et areal på $8$ .

Vi setter inn $x = 2$ i uttrykket for $y$ og får

$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

Arealet er minst når $x = y = 2$ .

Svar: Arealet er minst når $x = 2$ og $y = 2$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkt og lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om derivasjon i Treningsleiren.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4BOG

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor. $A B = 2 \sqrt{5}$ , $B D = 5 \sqrt{2}$ og $C D = 3$ .

Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

Arealet

av firkanten

A B C D

er lik summen av arealene til trekantene

B C D og A B D

. For vilkårlige trekanter kan vi finne areal ved hjelp av

Arealsetningen

For en trekant $△ A B C$ er arealet gitt ved $A = \frac{sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$ .

arealsetningen

Vi kan finne arealet av hver av trekantene

Arealsetningen sier at for en trekant $A B C$ er arealet gitt ved

$A_{A B C} = \frac{\sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$

I trekant $B C D$ kjenner vi $∠ D$ og sidene $D B og D C$ og kan sette rett inni arealsetningen:

$A_{B C D} = \frac{\sin ∠ D \cdot D B \cdot D C}{2}$

Vi bruker CAS til å regne ut arealet eksakt:

Videre ser vi på trekanten $A B D$ . Her kjenner vi $∠ A$ og $A B$ , men trenger å vite lengden til $A D$ for å bruke arealsetningen. For å finne denne siste sidelengden, bruker vi

Cosinussetningen

La $A B C$ være en trekant. Anta at vi kjenner sidene $A B$ , $A C$ og $∠ A$ mellom dem. Da er

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 (A B \cdot A C) \cos ∠ A .$

cosinussetningen

, som gir at

${B D}^{2} = {A B}^{2} + {A D}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos (∠ A)$

NÅ kan vi bruke CAS til å regne ut $A D$ :

Vi vil finne lengden på AD, så vi kan se bort fra den negative verdien og får da at $A D = 3 \sqrt{10}$ .

Nå kan vi bruke arealsetningen

$A_{A B D} = \frac{\sin ∠ A \cdot A B \cdot A D}{2}$

til å finne arealet til trekant $A B D$ og deretter kan vi summere sammen de to arealene:

Summen av arealet til de to trekantene er $\frac{45}{2}$ .

Svar: Arealet er $\frac{45}{2}$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Arealsetningen

For en trekant $△ A B C$ er arealet gitt ved $A = \frac{sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$ .

arealsetningen

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinussetningen

For flere forklarigner og eksempler se artiklene Arealsetningen og Cosinussetningen i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om cosinussetningen i Treningsleiren.

MAT1013 2016 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BKM

Løsningsforslag

Standardform

Standardform

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4BKP

Løsningsforslag

Potens

Rot

Logaritme

Tangens

Logaritme

Potens

Trigonometri

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BKW

Løsningsforslag

Ligning

Ligningssett

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BKY

Løsningsforslag

Faktorisering

Fortegnsskjema

abc-formelen

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4BL0

a)

Løsningsforslag a)

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen

b)

Løsningsforslag b)

Faktorisering

Kvadratrot

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4BL4

Løsningsforslag

Teller

Nevner

Første kvadratsetning

Konjugatsetningen

Faktorisering

Første kvadratsetning

Konjugatsetningen

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BL6

Løsningsforslag

Ligning

Logaritme

Logaritme

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BL8

Løsningsforslag

Fellesnevner

Utvide brøk

Utvide brøk

Faktorisering

Brøk

Utvide brøk

Oppgave 9 (4 poeng) Nettkode: E-4BLB

a)

Løsningsforslag a)

Betinget sannsynlighet

Produktsetningen

Sannsynlighet

b)

Løsningsforslag b)

Komplement

Sannsynlighet

c)

Løsningsforslag c)

Addisjonssetningen

Sannsynlighet

Addisjonssetningen

Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4BLK

Løsningsforslag

Alternativ

Nullpunkt

Andregradsuttrykk

Oppgave 11 (2 poeng) Nettkode: E-4BLM

a)