www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Betinget sannsynlighet og produktsetningen

Hva er betinget sannsynlighet, og hvordan regner vi med det?

Uttrykket betinget sannsynlighet brukes når sannsynligheten for en hendelse A påvirkes av om en annen hendelse B inntreffer. Vi sier at A og B er avhengige hendelser. Hvis sannsynligheten for A ikke påvirkes av B sier vi at de er uavhengige hendelser.

Vi bruker symbolet A|B for hendelsen "A gitt B", og P(A|B) for sannsynligheten til en hendelse A forutsatt at hendelsen B allerede har inntruffet.

FORMEL FOR BETINGET SANNSYNLIGET

P(A|B)=P(AB)P(B) 

Hvis vi multipliserer med P(B) på begge sider av likhetstegnet, får vi

 P(AB)=P(A|B)P(B).

Dette uttrykket kalles produktsetningen.

PRODUKTSETNINGEN


 P(AB)=P(A|B)P(B)

hvor  er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

Legg merke til at hvis A og B er uavhengige hendelser er P(A|B)=P(A), og da er P(AB)=P(A)P(B), akkurat som vi lærte på ungdomsskolen.

Nå skal vi se på et par eksempler.

 

Russ og russebil

Sannsynligheten for at en elev i tredje klasse blir russ er 95%. Sannsynligheten for at eleven både blir russ og spleiser på en russebil er 15%. Hva er sannsynligheten for at eleven spleiser på en russebil når vi vet at hun er en russ?

Først innfører vi hendelsene

R: Eleven er russ             

 

B: Eleven spleiser på en russebil 

 

Ut fra opplysningene vet vi at P(R)=95% og P(RB)=15%. Dermed er

 P(B|R)=P(RB)P(R)=0,150,95=15,8%. 

Sannsynligheten for at en russ spleiser på en russebil er omtrent 16%.

Gymtimer.

Idrettsstudenten Josefine har gjennomført en undersøkelse i en klasse med 20 elever, hvor av åtte er jenter. Elevene ble spurt om de liker gymtimene. Fem av jentene, og alle guttene, svarte ja. Josefine trekker en tilfeldig elev til et intervju. La J stå for at eleven er en jente og L for at eleven liker gymtimer.

Hvordan tolkes P(J),P(L),P(J|L),P(JL) og P(L|J), og hvor store er de?

  • P(J) er sannsynligheten for at eleven er ei jente: P(J)=820=0,4.
  • P(L) er sannsynligheten for at eleven liker gymtimer: P(L)=5+1220=0,85.
  • P(J|L) er sannsynligheten for at det er ei jente gitt at eleven liker gymtimer: P(J|L)=512+5=0,29. Legg merke til at her er utfallsrommet endret til elever som liker gymtimer i stedet for alle elevene! Det er 12 gutter og 5 jenter som liker gymtimer.
  •  P(JL) er sannsynligheten for at eleven er ei jente og samtidig liker gymtimer: P(JL)=P(J|L)P(L)=0,290,85=0,25.
  • P(L|J) er sannsynligheten for at eleven liker gymtimer gitt at det er ei jente: P(L|J)=P(JL)P(J)=0,250,4=0,63. 
Publisert: 10.08.2013 Endret: 25.11.2016

Begrep

  • Betinget sannsynlighet

    Den betingede sannsynligheten P(A|B) er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet. P(A|B)=P(AB)P(B).

  • Produktsetningen

    Produktsetningen sier at P(AB)=P(A|B)P(B), hvor P(A|B) er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Snitt

    Snittet av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

  • Uavhengige hendelser

    To begivenheter A og B kalles uavhengige dersom utfallet i den ene ikke påvirker utfallet i den andre.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.

  • Utfallsrom

    Alle mulige utfall en hendelse kan ha. Utfallsrom betegnes med U.

    Eksempelvis har karakteren på en matematikkprøve utfallsrommet U={1,2,3,4,5,6}.