www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Direkte bevis

Et bevis er et argument som viser at noe er nødt til å være sant. Det finnes forskjellige typer bevis. Direkte bevis er kanskje den enkleste typen bevis. Man tar da utgangspunkt i en forutsetning og viser at noe følger direkte derfra.

Eksempel 1

Vis at hvis a og b er partall, så er a+b også partall.

Bevis:

Et partall er et tall som kan deles på 2. La k=a2 og r=b2.

Da er a+b2=a2+b2=k+r og dermed er også a+b delelig på 2, så det er et partall.

Eksempel 2

Vis at hvis a er et partall og b er et heltall større enn 0, da er ab også et partall.

Altså, a er et partall og b>0 er et heltall  ab er et partall.

Bevis:

a er et partall, hvis og bare hvis vi kan skrive det som 2k for et heltall k. Vi får dermed

ab=2kb=2bkb=22b-1kb.

siden b er større enn 0, kan vi trekke ut 2 og vi ser dermed at ab også er et partall. Her har vi vist resultatet direkte fra forutsetningen.

Eksempel 3

Vis at hvis a er et partall og b er et oddetall, så er a+b et oddetall.

Bevis:

Her må vi først bli enige med oss selv om hva det vil si at noe er et oddetall eller partall.

a er et partall hvis det kan deles på to, og da kan vi skrive det som a=2k for et heltall k.

b er et oddetall hvis det ikke kan deles på to, og da kan vi skrive det som b=2r+1 for et heltall r.

Nå kan vi prøve å bevise påstanden over ved å se på a+b:

a+b=2k+2r+1=2k+r+1

k+r=t  er et heltall, og dermed ser vi at a+b=2t+1, så det er et oddetall! Dette fullfører beviset.

 

Eksempel 4

Vis første

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

 (a+b)2=a2+2ab+b2.

kvadratsetning
: a+b2=a2+2ab+b2

Bevis:

a+b2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

Publisert: 06.08.2014 Endret: 15.09.2014