Mengder

Mengdebegrepet er enkelt å forstå fra vår bruk av det i dagliglivet. Jeg kan for eksempel ha en mengde epler $E$. Jeg kan si at et eple $a$ er med i menden, $a\in E$, men at en pære $p$ ikke er det, $p\notin E$.

Nesten alle mengdene vi jobber med, er tallmengder, det vil si mengder der alle objektene er tall. Mengder skriver vi ofte på listeform, med klammeparenteser rundt, for eksempel $\left\{4,5,7\right\}$.

Eksempel 1

Mengden av elektroniske ting i sekken til Thea er $\left\{\mathrm{mobiltelefon}, \mathrm{pc}\right\}$.

Eksempel 2

$\{1,2,3\}$ er en tallmengde med tre elementer. Mengden endres ikke dersom noen av elementene gjentas, eller hvis rekkefølgen endres. For eksempel er $\{3,3,2,1,2\}=\left\{1,2,3\right\}$.

Eksempel 3

Dersom $A=\{1,2,3\}$, så er $1\in A$, men $4\notin A$.

Eksempel 4

La $A=\{-2,0,3\}$ og $B=\{-2,-1,0,1,2,3\}$. Da er $A\subseteq B$, fordi $-2\in B,0\in B$ og $3\in B$.

Dersom en tallmengde inneholder flere elementer enn vi orker å skrive opp, kan vi ofte slippe unna med å skrive $...$, som i denne sammenhengen betyr "og så videre". På denne måten kan vi også skrive opp mengder med uendelig mange tall.

Eksempel 4

Mengden $\{1,2,3,\mathrm{...},100\}$ består av alle tallene fra $1$ til $100$.

Eksempel 5

Mengden $\{3,6,9,12,\mathrm{...}\}$ består av alle tallene i "3-ganger’n", altså de positive tallene delelige med $3$.

Noen tallmengder forekommer veldig ofte, og har derfor fått egne navn.

Vi skal se mer på disse mengdene i neste artikkel.

En viktig observasjon er at mengdene $\mathrm{\mathbb{N}}, \mathrm{\mathbb{Z}}, \mathrm{\mathbb{Q}}$ og $\mathrm{ℝ}$ er inneholdt i hverandre:

$\mathrm{\mathbb{N}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Z}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Q}}\subseteq \mathrm{ℝ}$.
Du stusser kanskje over at $\mathrm{\mathbb{Z}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Q}}$, men husk at dersom $n$ er et heltall, så er $n=\frac{n}{1}$, som er en brøk. Dermed er alle heltall også rasjonale tall. Reelle tall som ikke kan skrives som en brøk, kalles irrasjonale.

Eksempel 6

Allerede de gamle grekerne visste at $\sqrt{2}$ er irrasjonalt, altså at $\sqrt{2}\notin$ $\mathrm{\mathbb{Q}}$ .