Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Grenseverdier

Vi begynner med et eksempel. La f være funksjonen gitt ved

 fx=x21x1.

Vi ser at f ikke er definert for x=1, fordi nevneren blir null – man kan ikke regne ut noen verdi da. Men vi kan likevel undersøke hva som skjer med f(x) når x nærmer seg 1. Av verdiene

 f0,9=1,9    f0,99=1,99    f0,999=1,999

 f1,1=2,1    f1,01=2,01    f1,001=2,001

er det tydelig at fx nærmer seg 2 når x nærmer seg 1.

Vi kan se dette enda tydeligere ved å foreta et lite forkortingstriks. For alle x bortsett fra x=1, har vi nemlig at (husk

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

 (a+b)(ab)=a2b2.

konjugatsetningen
!)

fx=x2-1x-1=x+1x-1x-1=x+1.

Fra dette uttrykket ser vi at jo nærmere x kommer 1, desto mer nærmer f(x) seg 2. I slike situasjoner sier vi at grenseverdien til f(x) når x går mot 1, er 2. Med symboler skriver vi:

limx1fx=2.

Vi formaliserer dette i en definisjon. For å gjøre det lettere å lese, bruker vi notasjonen xa for å uttrykke at "x går mot a".

Definisjon. Grenseverdi

La f være en funksjon og L et tall. Dersom f(x)L når xa, kaller vi L
for grenseverdien til f(x) når x går mot a. Med symboler skriver vi

limxafx

Hvis f(x) ikke nærmer seg noe bestemt tall når xa, sier vi at grenseverdien limxafx ikke eksisterer.

En typisk situasjon der grenseverdien ikke eksisterer, er hvis fx vokser mot  eller synker mot  når xa (for eksempel hvis fx=1x og x0). Selv om grenseverdien i slike tilfeller ikke eksisterer ( er ikke noe bestemt tall!), er det likevel vanlig å skrive limxafx=±.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten