Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Ensidige grenseverdier

Vi har sett at en grenseverdi ikke alltid eksisterer. Noen ganger kan vi likevel endre definisjonen litt og få noe vi likevel kan beregne.

Se på følgende funksjon:

 fx={1+12xx<2x26x+10x2
Her støter vi på problemer hvis vi skal regne ut limx2 fx, fordi funksjonsuttrykket er avhengig av hvilken side av 2 vi er på.

Definisjon. Ensidige grenseverdier

  • Dersom fxL  når x nærmer seg a nedenfra, skriver vi limxa-fx=L.
  • Dersom fxL  når x nærmer seg a ovenfra, skriver vi limxa+fx=L.

Disse grenseverdiene kaller vi ensidige grenseverdier.

Hva kan vi bruke denne definisjonen til? Dette teoremet er et eksempel:

Teorem. Kontinuitet i bruddpunkter

Anta at er en funksjon med delt forskrift, som har x=a som bruddpunkt. Da er f kontinuerlig i a hvis og bare hvis

limxa+fx=limxa-fx=fa.

 

Eksempel 1

Oppgave. La funksjonen f være gitt ved

 fx={1+12xx<2x26x+10x2 

Undersøk om f er kontinuerlig i x=2.

Løsning. Vi regner ut at

 limx2-fx=limx2-1+12x=2

og

 limx2+fx=limx2+x2-6x+10=2262+10=2=f2.

Her brukte vi at polynomfunksjoner er kontinuerlige, så vi kunne sette inn x=2 direkte. Siden de tre verdiene ble like, kan vi konkludere med at funksjonen er kontinuerlig i bruddpunktet – og dermed overalt. Grafen til f har en knekk i punktet x=2, men du kan fremdeles tegne den uten å løfte blyanten fra papiret.


 

Eksempel 2

Oppgave. Undersøk om funksjonen

gx={1x<01x0  er kontinuerlig i bruddpunktet x=0.


Løsning. Her blir de ensidige grenseverdiene

limx0g(x)=limx0(1)=1, mens limx0+g(x)=limx0+1=1.


Disse er ikke like, så funksjonen er ikke kontinuerlig. Det er en god idé å tegne grafen til g selv, og sjekke at du får samme konklusjon ut fra den.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten