Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Asymptoter

Nå som vi har lært oss å regne med grenseverdier kan vi snakke om en annen viktig idé: Asymptoter. En asymptote er en linje som en funksjon kommer stadig nærmere, men ikke møter.

Definisjon. Asymptoter

La c være et tall.

  1. Dersom limx+fx=c og/eller limx-fx=c, sier vi at y=c er en horisontal asymptote for f.
  2. Dersom limxc-fx=±  og/eller limxc+fx=±, sier vi at x=c er en vertikal asymptote for f.

Vi gikk rett på med en definisjon, men om man synes det blir mye symboler kan man si det mindre formelt:

  • •Dersom f(x) går mot et fast tall når x går mot uendelig, har grafen en horisontal asymptote.
  • •Dersom f(x) går mot uendelig når x går mot et fast tall, har grafen en vertikal asymptote.

Definisjonen er fin å ha med å gjøre, i den forstand at den kan brukes direkte når vi skal finne asymptoter. Teknikken er som følger:

Regel. Å finne asymptoter

  • Horisontale asymptoter: Regn ut limx+f(x) og limxf(x). Dersom noen av disse eksisterer, bruk definisjon 1.
  • Vertikale asymptoter: Identifisér alle bruddpunkter og punkter der f(x) ikke er definert, og undersøk grenseverdiene i hvert tilfelle. Dersom noen av disse blir + eller , bruk Definisjon 2.

En graf med en horisontal asymptote.

En graf med en vertikal asymptote


Eksempel

Oppgave. Finn alle horisontale og vertikale asymptoter til fx=1x.

Løsning. Som vi allerede har sett, er limx±1x=0. Dette viser at y=0 er en horisontal asymptote for f.

Den eneste muligheten for vertikal asymptote er x=0. (f har ingen bruddpunkter, og er kontinuerlig overalt utenom i x=0.) 

Fordi

 limx01x=  og limx0+1x=+

konkluderer vi med at x=0 er en vertikal asymptote for f. Sammenlign med grafen på figuren nedenfor. 

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten