www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Varians og standardavvik

For å få oversikt over statistiske data er det nyttig å ha informasjon om blant annet spredningen i materialet. Spredningsmålene viser hvor spredt tallene ligger rundt de sentrale verdiene. Et mye brukt spredningsmål er varians.

definisjon

Variansen er definert som (trekk pusten!) summen av kvadratet av hver observasjons avstand fra gjennomsnittet dividert med det totale antallet observasjoner.

Hvordan finne varians?

Steg for steg finner vi den ved å:

  1. Regne ut gjennomsnittet.
  2. Regne ut forskjellene mellom gjennomsnittet og hvert av tallene.
  3. Kvadrere forskjellene.
  4. Summere kvadratene av forskjellene.
  5. Dividere summen med det totale antallet observasjoner.

Legg merke til at uansett om differansen mellom et tall og gjennomsnittet er positivt eller negativt er kvadratet av differansen alltid positivt. Variansen direkte er ikke så lett å tolke, så etter å ha regnet den ut tar vi kvadratroten av variansen, og tallet vi får da kalles for standardavviket. Dette er et "forventet" avvik fra gjennomsnittet.

Som du ser av forklaringen over er dette litt komplisert, så vi prøver å vise det fram ved å beregne varians og standardavvik for samme eksempel som vi allerede har regnet ut variasjonsbredden for.

Fritidsaktiviteter

Fem elever i to klasser ble spurt hvor mange ganger de har fritidsaktiviteter i løpet av en uke. Svarene ble:

 Klasse A:      1   3   3   3   5 
 Klasse B:      2   3   3   3   4 

 

Datamaterialene for begge klassene har gjennomsnitt, median og typetall lik 3. Vi så på forrige side at vi kan fange noe av forskjellen på datasettene ved å bruke variasjonsbredde, men nå skal vi heller bruke varians og standardavvik.

For dataene i klasse A har vi:

  1. Gjennomsnittet er lik 1+3+3+3+55=3
  2. Differansene er lik 13=2,33=0,33=0,33=0 og 53=2
  3. Kvadratene av differansene er lik (2)2=4,02=0,02=0,02=0 og 22=4
  4. Summen av kvadrater av differanser er lik 4+0+0+0+4=8
  5. Variansen er lik denne summen dividert med det totale antallet data, som er lik 85=1,6 

For å finne standardavviket, tar vi kvadratroten og får

 1,61,26.

Test deg selv og regn ut varians og standardavvik for klasse B – fasitsvarene er varians lik 0,4 og standardavvik lik 0,63.

Siden både varians og standardavvik for data i klasse A er større enn i klasse B, kan vi si at dataene i klasse A varierer mer enn dataene i klasse B.

Publisert: 28.07.2013 Endret: 17.11.2016

Begrep

  • Gjennomsnitt

    Gjennomsnittet av flere målinger finner du ved å:
    1. summere målingene
    2. dele summen på antall målinger

    Eksempel : Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er
    1. 2+2+4+3=11
    2. antall målinger er 4, 11:4=2,75

    Gjennomsnitt kalles også middelverdi.

  • Median

    Medianen finner vi ved å rangere observasjoner etter størrelse og så plukke ut den midterste. Hvis det er to i midten (antall observasjoner er et partall) finner en medianen ved å legge disse to sammen og så dele på 2.

  • Sentralmål

    Sentralmål er utregnede verdier som viser "sentrum" for innsamlede data. Tre eksempler på sentralmål er gjennomsnitt, median og typetall.

  • Spredningsmål

    Spredningsmål er størrelser som sier oss noe om hvor mye dataene i et datasett varierer. Noen eksempler er variasjonsbredde, varians og kvartiler.

  • Standardavvik

    Standardavviket er kvadratroten av variansen. Det er et "forventet" avvik fra gjennomsnittet.

  • Typetall

    Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i f.eks. et innsamlet tallmateriale fra en spørreundersøkelse.

  • Varians

    Variansen er summen av kvadrater av alle observasjonenes gjennomsnitts differanse dividert med det totale antallet observasjoner. Regneregelen:

    1. Regn ut gjennomsnittet
    2. Regn forskjellene mellom gjennomsnittet og hvert av tallene
    3. Kvadrer forskjellene
    4. Summer kvadrater av forskjellene
    5. Divider summen med det totale antallet data.
  • Variasjonsbredde

    Variasjonsbredden i et datamateriale er forskjellen mellom den største verdien og den minste.