Delelighet og tallet 13

Har en nøtt jeg ikke forstår. Mulig dere kan hjelpe. Er mattelærer på barneskolen og vi driver med de flinkeste med nøtter fra ungdomskolen. Oppgaven er som følger:
Tallet 13 opphøyd i 11 gir følgende tall
1 792 160 394 0AB. Spørsmålet er da å finne de 2 siste sifrene. Kan jo gange seg frem, men må jo være en annen løsning? Har prøvd å finne noe mønster i svaret ved å gange noen få og det er det på A. Men finner ikke noe på B. Er det hjelp å få tro🙂

For å finne siste siffer B, kan bruke at dette avgjøres av mønsteret vi får når siste siffer i tallet 13 ganges med seg selv. Det er nemlig kun dette sifferet, sammen med eksponenten, som avgjør siste siffer i tallet vi ender opp med. Vi ser at vi får følgen

{3, 9, 7, 1}

som gjentar seg igjen og igjen. Siden eksponenten er 11, starter vi bare på første tall i tallfølgen over gjentar prosessen til vi har landet på det ellevte tallet, som blir 7.

Den saken er grei nok, og det å se et slikt mønster klarer glupe ungdomsskoleelever greit. Men når det gjelder nest siste siffer, virker det for meg som at saken er litt vanskeligere (så jeg mistenker at jeg overser en løsningsmetode her). Du vet sikkert at det finnes måter vi kan se på et tall hvorvidt det er delelig med 2, 3, 4, 5, 7, og flere andre. Jeg skal bruke regelen for delelighet med 13 for å finne A.

Tallet vi har endt opp med, 1 792 160 394 0A7, er åpenbart delelig med 13, og må derfor oppfylle følgende prinsipp:

Vi har tallfølgen {1, -3, -4, -1, 3, 4} som også gjentar seg. Nå skal vi gange det første sifferet i denne følgen med det siste sifferet i tallet vårt, og så legge til det andre sifferet i denne følgen ganget med det nest siste sifferet i tallet vårt, osv. Denne summen er delelig med 13 hvis og bare hvis tallet vårt er delelig med 13. Vi får

7·1-3·A-4·0-1·4+3·9+4·3+1·0-3·6-4·1-1·2+3·9+4·7+1·1

= 7-3·A-4+27+12-18-4-2+27+28+1

= 74-3·A

Dette tallet 74-3·A skal altså gi 0 i rest når vi deler på 13. For å finne A starer vi med å finne hvilken rest vi får når vi deler 74 på 13. Det viser seg å bli 9. Vi skal derfor kunne trekke ifra 3·A og få 9, så A=3.

Man ser av og til et par av delelighetsreglene i bøker for ungdomsskolen eller vgs, men denne er ikke nevnt så ofte. Men jeg ser ikke hvordan det ellers er meningen at vi skal finne A uten hjelpemidler.