Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Aritmetiske tallfølger

Hva er en aritmetisk tallfølge?

Betrakt tallfølgen 1,4,7,10,13,.... Vi merker at 

a1=1                a2=4=a1+3a3=7=a2+3

og så videre.

DEFINISJON

En tallfølge hvor hvert ledd ai kan kan skrives som ai=ai-1+d kalles aritmetisk.

Tallet d kalles differansen til den aritmetiske tallfølgen.


Eksempel 1

En butikkeier bestilte inn for mye godteri til påske, og bestemmer seg for å sette ned prisen på en vare som originalt koster 50,- med 5,- hver uke til det er utsolgt. Hva koster varen etter fem uker?

Vi merker at vi kan sette opp prisnedgangen uke for uke som en aritmetisk tallfølge

50,45,...


med differanse d=-5. Etter 5 uker vil prisen ha gått ned 25 kroner (5-5=-25), med andre ord vil varen koste 25,-. I vår aritmetiske følge vil prisen være a6. Vi merker at

a6=50+5-5=25.
 

TEOREM

Gitt en aritmetisk følge ai er an=a1+n-1d.

Bevis

 Vi utleder formelen direkte fra definisjonen av en aritmetisk følge:

an=an-1+d                =an-2+2d              =...=an-n-1+n-1d=a1+n-1d.        

 

Eksempel 2

Gitt den aritmetiske rekken 49, 0,-49, -98,..., finn en formel for an.

Vi anvender formelen gitt i teoremet og finner at

an=49+n-1-49=-49n+98.
 

Eksempel 3

Gitt at a9=12 og d=7, finn en formel for an.

Fra formelen har vi at 12=a1+87, så vi løser ligningen og får a1=-44. Dermed har vi at an=-44+n-17=7n-51.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten