www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Parametriserte kurver

Nå skal vi se hva parametriserte kurver er. Vi vil definere retningsvektor og fartsvektor for disse.

Parameterfremstillinger av rette linjer er alltid på formen {x=x0+aty=y0+bt. Dette betyr at linjen går gjennom punktet (x0,y0) og er parallell med vektoren [a,b]. Nå skal vi gi oss selv litt mer frihet, og la x og y være vilkårlige funksjoner avhengig av en parameter t: {x=x(t)y=y(t).

Eksempel 1

Parameterfremstillingen {x=t2y=2t gir oss følgende bilde:

For alle verdier av t kommer parameterfremstillingen til å gi oss et punkt (x(t),y(t)) i planet.

Parametriserte kurver kan vi også se å på som vektorfunksjoner.

Definisjon retningsvektor

En parameterfremstilling {x=x(t)y=y(t) kan betraktes som en funksjon r(t), som for hver verdi av t gir vektoren [x(t),y(t)]. For hver t kalles vektoren r(t)=[x(t),y(t)] retningsvektoren til punktet (x(t),y(t)).

 

Eksempel 2

Parameterfremstillingen {x=t2y=2t har vektorfunksjonen r(t)=[t2,2t]. Velger vi t=1, får vi punktet (1,2) i planet. Retningsvektoren er r(1)=[1,2] og vi illustrerer det på følgende måte:

 

For rette linjer får vi vektorfunksjonen r(t)=[x0+at,y0+bt]. Husk at denne linjen alltid er parallell med vekoten [a,b]. Det er nøyaktig denne vektoren vi får når vi deriverer vektorfunksjonen i hvert koordinat, r (t)=[a,b]. Denne vektoren kalles fartsvektoren til linjen. Dette er noe vi kan gjøre for alle parametetriserte kurver.

Definisjon fartsvektor

La r(t)=[x(t),y(t)] være  vektorfunksjonen. Ved å derivere i hvert koordinat v(t)=r (t)=[x(t),y(t)] får vi en ny vektorfunksjon. Vi definerer farten til kurven i t til å være v=|v(t)|.

 

Eksempel 3

Vi ser igjen på parameterfremstillingen med vektorfunksjon r(t)=[t2,2t]. Vi deriverer i hvert koordinat og får v(t)=[2t,2]. Ved t=1, får vi fartsvektoren v(1)=[2,2]. Farten til kurven ved t=1 gitt ved |v(1)|=22+22=8=22. 

Merk at fartsvektoren (i rødt) tangerer kurven.

Eksempel 4

Stian kaster en ball i fysikktimen. Etter t sekunder er posisjonen til ballen gitt ved {x=3ty=t2+4t for 0t4, hvor x og y er lengde og høyde i meter. Vi ønsker å finne hvor høyt ballen er etter 2 sekunder, og farten til ballen ved denne tiden. Vektorfunksjonen til kurven er r(t)=[3t,t2+4t]

Da er r(2)=[6,4]. 

Høyden, y-koordinatet, er 4 meter. For å finne farten deriverer vi funksjonen i hvert koordinat og får at v(t)=[3,2t+4]. Når t=2, er fartsvektoren v(2)=[3,0]. Dermed er farten |v(2)|=32+02=3.

Publisert: 19.07.2016 Endret: 22.08.2016