www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Retningsvektor

En vektor som er parallell med en rett linje kalles en retningsvektor til linja. Siden vektorene sv alle er parallelle med v (vi har bare forkortet, forlenget eller fått motsatt retning), vil en linje ha uendelig mange retningsvektorer. Det betyr at vi kun trenger å finne én retningsvektor, siden vi får alle de andre ved å multiplisere denne med passende tall.

For å finne en retningsvektor til en rett linje kan vi bruke stigningstallet til linja: En linje som er gitt ved likningen y=ax+b har stigningstall a, som betyr at forskjellen i y- verdiene til to punkter på linja er a når forskjellen i x-verdiene til de samme punktene er 1. Dermed er en naturlig retningsvektor til linja y=ax+b gitt ved vektoren 1,a.

Eksempel 1

En retningsvektor til linja y=-x+84 er 1,-1. Alle vektorer s1,-1 er parallelle med linja.

 

Retningsvektorene kan brukes til å skrive en rett linje på vektorform.

en rett linje på vektorform

Punktene x,y på en rett linje kan skrives på vektorform som

x,y=x0,y0+sx1,y1, s

der x0,y0 er et punkt på linja og x1,y1 er en retningsvektor til linja.

 Her er en tegning som forklarer dette (prøv å forklare høyt for deg selv):

 Vektorene tegnet i et koordinatsystem samt punktene (x_0,y_0) og (x_1,y_1).

Hvordan finner vi vektorformen til en rett linje?

  • Hvis vi har gitt linja på formen y=ax+b kan vi for eksempel bruke retningsvektoren 1,a i definisjonen over og punktet 0,b.
  • Hvis vi har gitt to punkter som linja går gjennom, kan vi regne ut stigningstallet a, bruke 1,a som retningsvektor og et av punktetne for å finne vektorformen.

 

Eksempel 2

Linja gitt ved y=-x+84 har retningsvektor 1,-1. Av punkter kan vi sette inn ulike verdier for x og velge oss et punkt. Vi velger 0,84, og får vektorformen x,y=0,84+s1,-1, s.

 

Når vi har skrevet en linje på vektorform får vi automatisk en såkalt parameterfremstilling av linja, der s kalles en parameter. Vektorformen

x,y=x0,y0+sx1,y1

gir

x,y=x0+sx1,y0+sy1

ved vektoraddisjon og multiplikasjon med s. Dermed får vi linja gitt ved likningssystemet

x=x0+sx1y=y0+sy1

 som er det vi kaller en parameterfremstilling for linja.

 

Eksempel 3

Linja y=-x+84 kan skrives på vektorform som x,y=0,84+s1,-1, det vil si en mulig parameterfremstilling for linja er

x=s       y=84-s

Hadde vi for eksempel valgt punktet 1,83 isteden, hadde vi fått en mulig parameterfremstilling (vi kaller nå parameteren for t)

x=1+t     y=83-t

Ved å sette inn ulike verdier for s og t (som jo kan være hva som helst), får vi de samme punktene, det vil si den samme linja. For eksempel gir s=0 punktet 0,84, mens t=-1 også gir 0,84.

Legg merke til at siden parameteren s kan ta hvilken som helst verdi, har en linje uendelig mange parameterfremstillinger. Vi har her gitt en spesiell metode for å finne slike fremstillinger, ved å bruke retningsvektoren 1,a der a er stigningstallet til linja.

 

Publisert: 02.07.2015 Endret: 02.07.2015