Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Likning til et plan

Vi skal nå utrede en likning for et plan i rommet.

En likning for et plan i rommmet finner vi ved å finne en normalvektor til planet, altså en vektor som står vinkelrett på planet. Om vi kjenner en normalvektor n=[a,b,c] og et punkt P0=(x0,y0,z0) på planet, kan vi avgjøre om et vilkårlig punkt P=(x,y,z) i rommet ligger på planet eller ikke.

teorem

La n=[a,b,c] være en normalvektor og P0=(x0,y0,z0) være et punkt på planet. Et vilkårlig punkt P=(x,y,z) i rommet ligger på planet hvis og bare hvis n står normalt på vektoren P0P=[xx0,yy0,zz0]. Da må prikkproduktet mellom vektorene lik null: nP0P=0 og dermed følger det at en likning for planet er a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0.

 

Finn likningen for planet når normalvektoren er gitt

Eksempel 1

Vi er gitt et plan som går gjennom punktet P0=(1,1,2) og har normalvektor n=[3,1,4]. Vi bruker teoremet over til å finne en likning til planet: 3(x1)(y1)+4(z2)=0.

Det er ikke alltid vi kjenner en normalvektor til planet fra starten av. Heldigvis kan vi alltid finne en normalvektor ved hjelp av annen informasjon. Hvis vi kjenner tre punkter på planet som ikke ligger på en rett linje, kan vi alltid konstruere en normalvektor. Om punktene A,B og C ligger på planet, og de ikke ligger på en rett linje, står vektoren AB×AC normalt på vektorene AB og AC, og dermed på planet!

Eksempel 2

Punktene A=(1,2,3), B=(2,7,1) og C=(0,3,5) ligger på et plan. Vi ønsker å finne en normalvektor til planet, og bruke dette til å finne en likning til planet. Vi ser på vektorene AB=[3,5,2] og AC=[1,1,2]. Vi regner nå ut AB×AC: AB×AC=ijk352112 hvor i=[1,0,0], j=[0,1,0] og k=[0,0,1]. Da får vi i5212j3212+k3511=12i+8j+2k=[12,8,2]. Siden [12,8,2]=2[6,4,1] kan vi velge normalvektoren n=[6,4,1]. Vi kan bruke teoremet ovenfor til å finne en likning for planet. Vi vet at planet går gjennom punktet A=(1,2,3). Dermed er en likning for planet gitt ved 6(x1)+4(y2)+(z3)=0.

 

Finn normalvektoren når likningen for planet er gitt

La oss se på det motsatte problemet: vi er gitt en likning for et plan, og vi ønsker å finne en normalvektor. En likning på formen ax+by+cz+d=0 gir oss et plan i rommet gitt at minst et av tallene a,b,c ikke er null. La P=(p1,p2,p3) og P=(p1,p2,p3) være to vilkårlige punkt på planet. Det vil si at ap1+bp2+cp3+d=0. og ap1+bp2+cp3+d=0. Vi kan se på vektoren PP=[p1p1,p2p2,p3p3]. Velger vi vektoren n=[a,b,c], får vi at nPP=a(p1p1)+b(p2p2)+c(p3p3). Vi skriver dette om til (ap1+bp2+cp3)(ap1+bp2+cp3)=d(d)=0. Dermed er n er normalvektor til planet.

Eksempel 3

Et plan med likning 3x2y+4z+18=0 er gitt. Vi kan finne en normalvektor, nemlig n=[3,2,4].

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten