www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Mengder

En grunnleggende byggekloss i det matematiske språket er mengdebegrepet. Hva er en mengde? Og hva står ,  og  for?

DEFINISJON MENGDE

En mengde er en samling objekter. Objektene i en mengde kalles ofte elementer.

Dersom objektet a er med i mengden A, skriver vi aA. Omvendt skriver vi aA hvis a ikke er med i A. Symbolet leses "er element i", eller "er med i".

Mengdebegrepet er enkelt å forstå fra vår bruk av det i dagliglivet. Jeg kan for eksempel ha en mengde epler E. Jeg kan si at et eple a er med i menden, aE, men at en pære p ikke er det, pE.

Nesten alle mengdene vi jobber med, er tallmengder, det vil si mengder der alle objektene er tall. Mengder skriver vi ofte på listeform, med klammeparenteser rundt, for eksempel 4,5,7.

Eksempel 1

Mengden av elektroniske ting i sekken til Thea er mobiltelefon, pc.

Eksempel 2

{1,2,3} er en tallmengde med tre elementer. Mengden endres ikke dersom noen av elementene gjentas, eller hvis rekkefølgen endres. For eksempel er {3,3,2,1,2}=1,2,3.

Eksempel 3

Dersom A={1,2,3}, så er 1A, men 4A.

 

AB

Vi sier at en mengde A er inneholdt i en annen mengde B  hvis alle elementene i A også er elementer i B. Vi skriver da AB.

Eksempel 4

La A={2,0,3} og B={2,1,0,1,2,3}. Da er AB, fordi 2B,0B og 3B.

 

Dersom en tallmengde inneholder flere elementer enn vi orker å skrive opp, kan vi ofte slippe unna med å skrive ..., som i denne sammenhengen betyr "og så videre". På denne måten kan vi også skrive opp mengder med uendelig mange tall.

Eksempel 4

Mengden {1,2,3,...,100} består av alle tallene fra 1 til 100.

Eksempel 5

Mengden {3,6,9,12,...} består av alle tallene i "3-ganger’n", altså de positive tallene delelige med 3.

 

Noen tallmengder forekommer veldig ofte, og har derfor fått egne navn.

DEFINISJON NOEN VIKTIGE TALLMENGDER

  • =1,2,3,.... Mengden av de positive heltallene, også kalt de naturlige tallene.
  • =...,-2,-1,0,1,2,.... Mengden av alle heltall.
  • = mengden av alle rasjonale tall, altså brøker med heltall i teller og nevner med eneste restriksjon at nevneren ikke er lik null.
  • = mengden av alle reelle tall, det vil si alle tallene på tallinja.

En mengde som ikke inneholder noen elementer, kaller vi en tom mengde. Denne betegner vi med .

Vi skal se mer på disse mengdene i neste artikkel.

En viktig observasjon er at mengdene , ,  og er inneholdt i hverandre:

.
Du stusser kanskje over at , men husk at dersom n er et heltall, så er n=n1, som er en brøk. Dermed er alle heltall også rasjonale tall. Reelle tall som ikke kan skrives som en brøk, kalles irrasjonale.

Eksempel 6

Allerede de gamle grekerne visste at 2 er irrasjonalt, altså at 2 .

Publisert: 19.03.2014 Endret: 15.09.2014