MAT1013 2015 Høst

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebeint

trekant og da er $AB=AC$. For å finne arealet til trekanten må vi finne ut hvor lang disse sidene er. 

Arealet til en trekant er gitt ved

$A=\frac{g\cdot h}{2}$, der $g$ er

For å finne arealet til trekanten må vi først finne grunnlinjen $AB$ og høyden $AC$.

Vi kjenner til $BC$ og to av vinklene. Siden

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

 

 

vinkelsummen i en trekant

$\angle BCA={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{90}^{\circ }={45}^{\circ }$

Fordi to av vinklene i trekanten er like, er trekanten likebeint. Dette betyr at $AB=AC$.

Fordi trekanten er rettvinklet, bruker vi

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^2+b^2=c^2$ 

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

$A{B}^2+A{C}^2=(\sqrt{2}{)}^2$

Setter vi inn $AB=AC$ får vi

$2(AB{)}^2=2$.

$A{B}^2=1$ gir oss at

$AB=AC=1$

Arealet av trekanten er derfor

$\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{1}{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter. 

 

trekant

,

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebeint trekant

,

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

 

 

vinkelsummen i en trekant

,

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

og

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^2+b^2=c^2$ 

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

.

Du kan lese mer om læresetningen i artikkelen Pytagoras læresetning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

 

nullpunktene

, altså $x$-verdiene når $f\left(x\right)$ er null. Funksjonen er et

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4x+5$ og $12x+2a$.

polynom

av andre grad og da kan vi bruke

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a{x}^2+bx+c=0$ har løsningene $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

abc-formelen

.

Vi kan finne nullpunktene ved å løse

$x^2-x-2=0$

ved hjelp av

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}$

Dette gir oss $x$-verdien til to nullpunkter, $x=2 \mathrm{og}x=-1$.

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

 

nullpunkter

.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner nullpunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkter i Treningsleiren.

Løsningsforslag b)

Vi finner bunnbunktet til $f$ ved å derivere og finne nullpunktene til den deriverte.

$f\prime \left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\text{'}=2x-1$

$f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2x-1=0$.

Altså må vi ha ekstremalpunkt når  $x=\frac{1}{2}$. Vi må også sjekke hvilken verdi $f$ har når $x=\frac{1}{2}$; 

$f\left(\frac{1}{2}\right)=(\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$.

Vi vet da at $(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$ er på grafen til $f$.

For å finne ut om dette er et toppunkt eller bunnpunkt kan vi se på fortegnene til $f\prime \left(x\right)$,  som vi kan skrive som 

$f\prime \left(x\right)=2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)$.

Vi kan tegne et fortegnsskjema, men legg merke til at første faktoren $2$ alltid er positiv. Derfor er det nok å tegne fortegnslinjen for faktoren $x-\frac{1}{2}$

Vi leser av fortegnsskjemaet at det er et bunnpunkt i $x=\frac{1}{2}$.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f(x)$ er et punkt $(a,f(a))$ der funksjonsverdien $f(a)$ er mindre enn $f(x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$.

 

bunnpunkt

.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner ekstremalpunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

Løsningsforslag c)

En rett linje kan alltid skrives som $y=ax+b$ der $a$ er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

Stigningstallet til tangenten er likt $f\prime \left(2\right)$, så vi vil regne ut $f\prime \left(2\right)$:

$f\prime \left(x\right)=2x-1$

$f\prime \left(2\right)=4-1=3$

Tangenten er da på formen $y=3x+b$.

For å finne konstantleddet bruker vi at tangenten går gjennom punktet $(2,f(2\left)\right)$, der $f\left(2\right)=2^2-2-2=0$.

Så punktet $\left(2,0\right)$ ligger på linja og oppfyller likningen $y=3x+b$

Vi kan sette inn for $x=2$ er $y=0$ og får

$0=3\cdot 2+b$.

Dette gir oss $b=-6$.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

 

tangent

og

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivert

.

Flere forklaringer og eksempler se artikkelen Å finne tangenten i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

Skjæringspunktet

er der

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafene

skjærer hverandre. Først må vi finne

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2x+8=14$

likningen

for linjen $l$. At denne rette linjen er

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $\parallel$

Eksempel: $g\parallel f$, leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

med tangenten fra deloppgave c), betyr at den har samme

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

. For å finne

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A=\pi r^2$, $\pi$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

bruker vi at den går gjennom $\left(3, 7\right)$.

For å finne skjæringspunktene mellom linjen og grafen må vi først finne likningen til linjen $l$. Vi vet at det er en rett linje, så likningen må være på formen  $y=ax+b$.

Siden den er parallell med tangenten vi fant i c) må de ha samme

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

$7=3\cdot 3+b$

$7=9+b$

Dette gir oss $b=-2$.

Linjen $l$ har likning lik $y=3x-2$.

I skjæringspunktene er høyresiden til likningen for linjen $l$ lik funksjonsuttrykket for $f$:

$3x-2=f\left(x\right)$

$3x-2=x^2-x-2$

$x^2-4x=0$

For å løse denne andregradslikningen kan vi faktorisere ut $x$, da får vi

$x^2-4x=x\left(x-4\right)=0$

og har skjæringspunkt når  $x=0 \mathrm{og}x=4$.

Vi regner ut $y$-verdien i skjæringspunktene ved å sette inn $x=0 \mathrm{og}x=4$ i  $f\left(x\right)$.

$f\left(0\right)=0^2-0-2=-2 \mathrm{og} f\left(4\right)=4^2-4-2=10$.

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

 

tangent

,

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2x-10+x=x+20$

lineære likninger

,

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a{x}^2+bx+c=0$ 

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen. 

andregradslikning

,

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

,

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a{x}^2+bx+c=0$ har løsningene $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

abc-formel

og

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkter

.

Flere forklaringer og eksempler på skjæringspunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting. For mer om lineære funksjoner se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Løsningsforslag e)

For å tegne en graf, finner vi først et par punkter som ligger på grafen. Vi bruker funksjonsuttrykket til å finne punktene.

Vi begynner med å finne noen punkter på grafen til $f$. Fra de tidligere oppgavene vet vi at punktene

$\left(2,0\right), \left(-1,0\right), \left(\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right), \left(0,-2\right) \mathrm{og} \left(4, 10\right)$.

Vi finner noen punkter til på grafen til $f$, for $x=1, x=-3 \mathrm{og} x=-4$. Vi har at

$f\left(1\right)=1^2-1-2=-2$

$f\left(-3\right)={\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)-2=9+3-2=10$

$f\left(-4\right)={\left(-4\right)}^2-\left(-4\right)-2=16+4-2=18$

Så $\left(1, -2\right), \left(-3, 10\right) \mathrm{og} \left(-4,18\right)$ er punkter på grafen til $f$.

Vi markere disse punktene inn i et koordinatsystem og tegner grafen.

Tangenten fra oppgave c) går gjennom punktet $\left(2,0\right)$. Vi må finne et annet punkt på tangenten, som er en rett linje for å kunne tegne . For $x=0$ får vi $y=3\cdot 0-6=-6$, som betyr at $\left(0,-6\right)$ er et punkt på tangenten.

For å tegne inn tangenten i koordinatsystemet markerer vi disse to punktene og tegner den rette linjen gjennom dem.

Nå gjenstår bare å tegne inn den rette linjen fra oppgave d). I d) fant vi at denne linjen skjærer grafen til $f$ i punktene $\left(0,-2\right) \mathrm{og} \left(4, 10\right)$, altså går linjen gjennom disse to punktene. De er allerede markert i koordinatsystemet så da er det bare å tegne den rette linjen gjennom disse to punktene.