Definisjonen av derivasjon

Videoen forklarer definisjonen av derivasjon og viser et eksempel på hvordan man kan finne den deriverte til en funksjon ved hjelp av definisjonen.

MatRIC: Derivasjon

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Begreper

Deriverbarhet

Vi sier at en funksjon $f (x)$ er deriverbar i et punkt $a$ , hvis følgende grense finnes:

$f' (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Med "finnes" mener vi at den ikke er uendelig og blir det samme uavhengig av om h går mot null ovenfra eller nedenfra.

Deriverbarhet

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

Derivasjon

Oppgaver

1. Anta at grafen til en funksjon $f$ har en tangent i punktet $(x_{0}, f (x_{0}))$ . Hva er stigningstallet til denne tangenten?

FASIT

Stigningstallet til tangenten er $f' (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$

2. La $f (x) = 3 x - 1$ . Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

$f' (x) = 3$

Løsningsforslag:

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{(3 (x + Δ x) - 1) - (3 x - 1)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} 3$

$= 3$

3. La $g (x) = \frac{x}{2}$ . Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

$g' (x) = \frac{1}{2}$

Løsningsforslag:

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{(\frac{(x + Δ x)}{2}) - (\frac{x}{2})}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{2 Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}$

4. La $h (z) = 2 z^{2}$ . Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

$h' (z) = 4 z$

Løsningsforslag:

$\lim_{Δ z \to 0} \frac{h (z + Δ z) - h (z)}{Δ z}$

$= \lim_{Δ z \to 0} \frac{2 (z + Δ z)^{2} - 2 z^{2}}{Δ z}$

$= \lim_{Δ z \to 0} \frac{4 z Δ z + {Δ z}^{2}}{Δ z}$

$= \lim_{Δ z \to 0} 4 z + Δ z$

$= 4 z$

Definisjonen av derivasjon

Begreper

Deriverbarhet

Derivasjon

Oppgaver

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

Matematikk for studenter

Derivasjon

Består av: