Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Å kombinere flere formler

Noen ganger er det slik at vi ikke har all den informasjonen som vi trenger for å få et svar på problemet. Det kan da hjelpe med å kombinere flere formler og få en likning som da kan løses. Dette krever at vi har god forståelse av problemet.

For å få en god forståelse av et problem er det viktig å skissere problemet og sette opp de formlene som kan hjelpe med å forenkle problemet. Når vi har gjort dette, så kan vi løse problemer som kanskje var umulige før. Vi skal se på hvordan vi gjør dette under.

 

Bokhylle i globus

Vi vil lage en designerbokhylle som er plassert i en globus som kan åpnes opp. Vi får vite at bokhyllen har kvadratisk topp og bunn, og vi får vite volumet til bokhyllen. I tillegg får vi vite radiusen på globusen. Utifra dette skal vi finne hva høyden til bokhyllen må være slik at volumet av bokhyllen blir størst mulig. Radiusen på globusen er 50 i lengde. Volumet av bokhyllen er gitt ved

Vbokhylle=s2h,

hvor s er lengden på sidene til toppen og bunnen av bokhyllen, og h er høyden. Vi starter med å lage en skisse.

Vi vil at formelen,

Vbokhylle=s2h,

skal bare ha høyden, h, på høyreside. Vi må bytte ut s2 med noe annet. Utifra skissen ser vi at vi kan bruke Pytagoras læresetning, altså

katet2+katet2=hypotenus2.

Den røde linjen er diagonalen på toppen av boksen som er en kvadrat. Så vi får et uttrykk for den røde linjen.

(rød linje)2=(s2)2+(s2)2=s24+s24=s22

Den røde linjen er da s2.

Vi kan nå bruke Pytagoras læresetning en gang til for å koble sammen lengdene i bokhyllen med radiusen av globusen. Fra sentrum av bokhyllen til det ene hjørne, er det r i lengde, og fra sentrum av bokhyllen til toppen, er h2 i lengde. Fra sentrum av toppen til det ene hjørne er den røde linjen som vi fant at hadde lengde s2. Vi bruker dette for å sette opp Pytagoras læresetning.

(h2)2+(s2)2=r2h24+s22=r2s22=r2h24s2=2r2h22

Vi setter uttrykket for s2 inn i

Vbokhylle=s2h

og får

Vbokhylle=(2r2h22)h.

Vi vet at r=50 og får da

Vbokhylle=(5000h22)h

For å finne hva h må være for å få størst mulig volum for bokhyllen, må vi derivere utrykket og sette det lik null.

500032h2=0

Vi løser dette med abc-formelen og får

h1=1003 og h2=1003.

Bare h1 er positiv, og dermed vet vi at dersom vi velger h=100357.73 får vi størst mulig volum for bokhyllen når radius til globusen er 50 i lengde.

Legg merke til at

vi bare fikk vite radiusen, r, til globusen og at bokhyllen hadde kvadratisk topp og bunn. Det var nok til å finne ut hvor høy bokhyllen måtte være for å ha størst mulig volum, og samtidig fortsatt passe inn i globusen. Det viktigste her er en god skisse slik at man vet hvordan de forskjellige variablene henger sammen. På den måten kan vi finne andre formler som kan koble de sammen og lage en ny formel.

Vi gikk fra

Vbokhylle=s2h

til

Vbokhylle=(2r2h22)h

ved å bruke Pytagoras læresetning to ganger.

Begrep

  • abc-formelen

    abc-formelen sier at en likning på formen ax2+bx+c=0 har løsningene x=b±b24ac2a.

  • Derivasjon

    En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

  • Kule

    Kule

    Et tredimensjonalt objekt der alle punktene på overflaten har en fast avstand til sentrum i objektet. Denne avstanden fra et punkt på overflaten til sentrum kalles radius.

  • Pytagoras læresetning

    Pytagoras læresetning

    Pytagoras læresetning sier at:

    Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

    Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : a2+b2=c2 

    Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Hopp over bunnteksten