Parametriserte kurver
Nå skal vi se hva parametriserte kurver er. Vi vil definere retningsvektor og fartsvektor for disse.
Parameterfremstillinger av rette linjer er alltid på formen {x=x0+aty=y0+bt. Dette betyr at linjen går gjennom punktet (x0,y0) og er parallell med vektoren [a,b]. Nå skal vi gi oss selv litt mer frihet, og la x og y være vilkårlige funksjoner avhengig av en parameter t: {x=x(t)y=y(t).
Eksempel 1
Parameterfremstillingen {x=t2y=2t gir oss følgende bilde:
For alle verdier av t kommer parameterfremstillingen til å gi oss et punkt (x(t),y(t)) i planet.
Parametriserte kurver kan vi også se å på som vektorfunksjoner.
Definisjon retningsvektor
En parameterfremstilling {x=x(t)y=y(t) kan betraktes som en funksjon →r(t), som for hver verdi av t gir vektoren [x(t),y(t)]. For hver t kalles vektoren →r(t)=[x(t),y(t)] retningsvektoren til punktet (x(t),y(t)).
Eksempel 2
Parameterfremstillingen {x=t2y=2t har vektorfunksjonen →r(t)=[t2,2t]. Velger vi t=1, får vi punktet (1,2) i planet. Retningsvektoren er →r(1)=[1,2] og vi illustrerer det på følgende måte:
For rette linjer får vi vektorfunksjonen →r(t)=[x0+at,y0+bt]. Husk at denne linjen alltid er parallell med vekoten [a,b]. Det er nøyaktig denne vektoren vi får når vi deriverer vektorfunksjonen i hvert koordinat, →r′(t)=[a,b]. Denne vektoren kalles fartsvektoren til linjen. Dette er noe vi kan gjøre for alle parametetriserte kurver.
Definisjon fartsvektor
La →r(t)=[x(t),y(t)] være vektorfunksjonen. Ved å derivere i hvert koordinat →v(t)=→r ′(t)=[x′(t),y′(t)] får vi en ny vektorfunksjon. Vi definerer farten til kurven i t til å være v=|→v(t)|.
Eksempel 3
Vi ser igjen på parameterfremstillingen med vektorfunksjon →r(t)=[t2,2t]. Vi deriverer i hvert koordinat og får →v(t)=[2t,2]. Ved t=1, får vi fartsvektoren →v(1)=[2,2]. Farten til kurven ved t=1 gitt ved |→v(1)|=√22+22=√8=2√2.
Merk at fartsvektoren (i rødt) tangerer kurven.
Eksempel 4
Stian kaster en ball i fysikktimen. Etter t sekunder er posisjonen til ballen gitt ved {x=3ty=−t2+4t for 0≤t≤4, hvor x og y er lengde og høyde i meter. Vi ønsker å finne hvor høyt ballen er etter 2 sekunder, og farten til ballen ved denne tiden. Vektorfunksjonen til kurven er →r(t)=[3t,−t2+4t]:
Da er →r(2)=[6,4].
Høyden, y-koordinatet, er 4 meter. For å finne farten deriverer vi funksjonen i hvert koordinat og får at →v(t)=[3,−2t+4]. Når t=2, er fartsvektoren →v(2)=[3,0]. Dermed er farten |→v(2)|=√32+02=3.
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Vektorer
Består av:
- Hva er en vektor?
- Like vektorer
- Vektorer mellom to punkter
- Vektorer i tre eller flere dimensjoner
- Nullvektor
- Stedvektor (posisjonsvektor)
- Parallelle vektorer
- Lengden til en vektor
- Addisjon av vektorer
- Subtraksjon av vektorer
- Skalarmultiplikasjon
- Prikkprodukt og norm
- Vinkelen mellom to vektorer
- Ortogonale vektorer
- Enhetsvektor og normalisering
- Projeksjon
- Kort om matriser og determinanter
- Kryssprodukt av to vektorer
- Retningsvektor
- Parameterframstilling av en rett linje
- Parametriserte kurver
- Likning til et plan
- Avstand mellom et punkt og et plan
- Likning for en kule
- Kryssprodukt - areal og volum
- Vektorregning med eksempler