Derivasjon av trigonometriske funksjoner

For trigonometriske funksjoner kan en gjøre en del funksjonsdrøfting uten å bruke derivasjon. For uttrykk som blander trigonometriske og ikke-trigonometriske funksjoner trenger vi allikevel kunnskap om den deriverte for å kunne drøfte funksjonen.

Regel

Den deriverte til $\sin x$ er $\cos x$ , og den deriverte til $\cos x$ er $- \sin x$ .

Merk at vi kan bruke dette til å utlede den deriverte til $\tan x$ . Siden

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ kan vi bruke brøkregelen for derivasjon. Da vil

$(\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}$ da

$\cos^{2} + \sin^{2} x = 1$ ved Pytagorassetningen. Alternativt kan vi la være å bruke Pytagoras og skrive ut brøken:

$\frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x} + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x .$

Eksempel 1

Vi deriverer funksjonen $f (x) = e^{3 x} \cos 2 x$ . Vi bruker kjerneregelen på begge faktorene i tillegg til produktregelen:

$f' (x) = 3 e^{3 x} \cos 2 x + e^{3 x} \cdot (- 2) \sin 2 x$

$= 3 e^{3 x} \cos 2 x - 2 e^{3 x} \sin 2 x = e^{3 x} (3 \cos 2 x - 2 \sin 2 x) .$

Eksempel 2

En gruppe biologer måler fiskebestanden i et vann. Antall fisk etter $x$ uker kan modelleres med funksjonen

$f (x) = 45 + 3 x + 20 \cos (\frac{π}{4} x)$ hvor

$x$ er i det lukkede intervallet

$[0, 26]$ . Vi vil finne ut når fiksebestanden synker mest. Vi deriverer først en gang:

$f' (x) = 3 - \frac{20 π}{4} \sin (\frac{π}{4} x) .$ Vi trenger ikke å derivere en gang til. Uttrykk på denne formen kan vi finne topp- og bunnpunktene til uten videre derivasjon. Bunnpunktene til

$f' (x)$ forekommer når

$\sin \frac{π}{4} x = 1$ . Da er

$\frac{π}{4} x = π$ . I tillegg må vi ta med alle omløp:

$\frac{π}{4} x = π + 2 π n .$ Vi multipliserer alt med

$\frac{4}{π}$ :

$x = 4 + 8 n .$ Dette vil være bunnpunktene til funksjonen. Da vi ønsker

$x$ i intervallet

$[0, 26]$ er

$n = 0, 1$ eller

$2$ . Dermed synker fiskebestanden mest i uke 4, 12 og 20.

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs 11.-13.trinn

Trigonometri

Består av:

Trekanter
Sinus, cosinus og tangens
Eksakte verdier
Klara finner eksakte verdier
Trigonometriske formler
Grafene til sin x, cos x og tan x
Arealsetningen
Sinussetningen
Cosinussetningen
Trigonometriske likninger
Mer kompliserte likninger
Periodiske funksjoner
Derivasjon av trigonometriske funksjoner
Omskriving til standardform