Volum av et omdreiningslegeme

La $y=f\left(x\right)$.

Forestill deg at delen av kurven mellom $x=a \mathrm{og} x=b$ roteres ${360}^{\circ }$ om $x$ - aksen. Da vil vi få et omdreiningslegeme eller rotasjonslegeme.

Et omdreiningslegeme (rotasjonslegeme) fremkommer ved at en plan figur dreier seg om en akse i figurens plan. Overflaten av et omdreiningslegeme er derfor en omdreiningsflate. Eksempler på omdreiningslegemer er kule, ellipsoide, sylinder og kjegle.

Eksempel - volum av en kule

Likningen 

$x^2+y^2=r^2$

representerer en sirkel med sentrum i origo med radius $r$.

Grafen til funksjonen $y=\sqrt{r^2-x^2}$ er en semisirkel. Vi roterer denne kurven ${360}^{\circ }$ mellom $x=-r \mathrm{og} x=r$ om $x$ - aksen til å forme en kule. Nå er

$x^2+y^2=r^2$ og derfor er $y^2=r^2-x^2$ .

Vi finner volumet ved å bruke formelen over 

$V=\pi {\int }_a^b{y}^2\mathrm{dx}={\pi \int }_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm{dx}$

${=\pi (x{r}^2-\frac{1}{3}{x}^3)}_{-r}^r$ ,

$=\pi \left((r-(-r\left)\right)r^2-\frac{1}{3}(r^3-{(-r)}^3)\right)$,

$=\pi (2r^3-\frac{2}{3}{r}^3)$,

$=\pi \frac{4}{3}{r}^3$,

og vi er ferdige.