Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Prikkprodukt og norm

Hva er prikkproduktet? Hvordan finner vi normen til en vektor?

I prikkproduktet er resultatet et tall (en skalar) og ikke en vektor. Og derfor kalles prikkprodukt ofte også skalarprodukt (må ikke blandes med skalarmultiplikasjon, som betyr å multiplisere en vektor med et reelt tall k). Legg merke til at prikkoperatoren , får forskjellig betydning alt etter om den står mellom to vektorer eller to tall.

PRIKKPRODUKT

La u=[x1,y1] og v=[x2,y2] være to vektorer. Prikkproduktet av u og v er

uv=[x1,y1][x2,y2]=x1x2+y1y2

Eksempel 1

[5,-2][1,7]=51+(-2)7=5-14=-9

 

Eksempel 2

[0,1,-2][3,5,3]=03+15+(-2)3=0+5-6=5-6

 

Eksempel 3

[1,0][0,7]=10+07=0

Hvis prikkproduktet er lik 0, er vektorene ortogonale. For mer informasjon se i høyrespalten Projeksjon.

 

NORMEN TIL EN VEKTOR

En vektor u har både retning og lengde. Lengden kalles ofte norm. Normen til u skrives som |u|.

|u|=uu

 

Eksempel 4

Vektoren v går fra A til B. Avstanden i x-retning fra A til C er 4 avstanden i y-retning fra C til B er 3, og dermed er u=[4,3]. Hva er |v|?

Vektoren v tilsvarer jo hypotenusen i den rettvinklede trekanten ABC, og lengden får vi dermed ved hjelp av Pytagoras' teorem:

|v|=42+32=25=5

Legg så merke til at vv=44+33=42+32.

Dette gjelder generelt.

 

Eksempel 5

|[1,7]|=12+72=1+49=50=52

 

Eksempel 6

|[5,-6,3]|=52+(-6)2+(3)2=25+36+3=64=8

 

regler for prikkproduktet

  • Prikkproduktet er kommutativt: uv=vu
  • Den distributive lov ("parentesregelen") gjelder: u(v+w)=uv+uw
Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten
LeftRight