Prikkprodukt og norm
Hva er prikkproduktet? Hvordan finner vi normen til en vektor?
I prikkproduktet er resultatet et tall (en skalar) og ikke en vektor. Og derfor kalles prikkprodukt ofte også skalarprodukt (må ikke blandes med skalarmultiplikasjon, som betyr å multiplisere en vektor med et reelt tall k). Legg merke til at prikkoperatoren ⋅, får forskjellig betydning alt etter om den står mellom to vektorer eller to tall.
PRIKKPRODUKT
La →u=[x1,y1] og →v=[x2,y2] være to vektorer. Prikkproduktet av →u og →v er
→u⋅→v=[x1,y1]⋅[x2,y2]=x1⋅x2+y1⋅y2
Eksempel 1
[5,-2]⋅[1,7]=5⋅1+(-2)⋅7=5-14=-9
Eksempel 2
[0,1,-2]⋅[3,√5,3]=0⋅3+1⋅√5+(-2)⋅3=0+√5-6=√5-6
Eksempel 3
[1,0]⋅[0,7]=1⋅0+0⋅7=0
Hvis prikkproduktet er lik 0, er vektorene ortogonale. For mer informasjon se i høyrespalten Projeksjon.
NORMEN TIL EN VEKTOR
En vektor →u har både retning og lengde. Lengden kalles ofte norm. Normen til →u skrives som |→u|.
|→u|=√→u⋅→u
Eksempel 4
Vektoren →v går fra A til B. Avstanden i x-retning fra A til C er 4 avstanden i y-retning fra C til B er 3, og dermed er →u=[4,3]. Hva er |→v|?
Vektoren →v tilsvarer jo hypotenusen i den rettvinklede trekanten ABC, og lengden får vi dermed ved hjelp av Pytagoras' teorem:
|→v|=√42+32=√25=5
Legg så merke til at →v⋅→v=4⋅4+3⋅3=42+32.
Dette gjelder generelt.
Eksempel 5
|[1,7]|=√12+72=√1+49=√50=5√2
Eksempel 6
|[5,-6,√3]|=√52+(-6)2+(√3)2=√25+36+3=√64=8
regler for prikkproduktet
- Prikkproduktet er kommutativt: →u⋅→v=→v⋅→u
- Den distributive lov ("parentesregelen") gjelder: →u⋅(→v+→w)=→u⋅→v+→u⋅→w
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Vektorer
Består av:
- Hva er en vektor?
- Like vektorer
- Vektorer mellom to punkter
- Vektorer i tre eller flere dimensjoner
- Nullvektor
- Stedvektor (posisjonsvektor)
- Parallelle vektorer
- Lengden til en vektor
- Addisjon av vektorer
- Subtraksjon av vektorer
- Skalarmultiplikasjon
- Prikkprodukt og norm
- Vinkelen mellom to vektorer
- Ortogonale vektorer
- Enhetsvektor og normalisering
- Projeksjon
- Kort om matriser og determinanter
- Kryssprodukt av to vektorer
- Retningsvektor
- Parameterframstilling av en rett linje
- Parametriserte kurver
- Likning til et plan
- Avstand mellom et punkt og et plan
- Likning for en kule
- Kryssprodukt - areal og volum
- Vektorregning med eksempler