Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Regneregler for kvadratrøtter

Hvordan kan vi raskt, uten å bruke kalkulator, finne kvadratroten til et stort tall? Hvordan kan vi omforme utrykk med kvadratrot?

MatRIC: Regning med røtter


Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC
 

Kvadrattall

Et kvadrattall er det positive heltallet som vi får når et heltall multipliserers med seg selv.

Eksempel: 25 er et kvadrattall, fordi 55=25

Kvadrattallene
er de tallene vi får som svar når vi multipliserer et naturlig tall med seg selv. Vi sier at vi kvadrere et naturlig tall. De ti første, laveste kvadrattallene større enn 0 er 1,4,9,16,25,36,49,64,81 og 100.

Det å kvadrere tall og å trekke ut kvadratrot av tall er motsatte talloperasjoner på de naturlige tallene. Derfor kan vi, når vi skal finne kvadratroten, først finne primtallsfaktoriseringen av tallet og se om vi kan bruke den. Vi ser på noen eksempler.

Eksempel 1.

Vi starter med tallet 7. Vi kvadrerer tallet og får

72=77=49.

Kvadratroten er 49=7.
Men hvis vi starter med et negativt tall, blir det annerledes. Vi vet at

(7)2=49.

Men ved å ta kvadratroten av 49 kommer vi ikke tilbake til 7.

Kan vi gjøre noe lurt når vi skal finne kvadratroten til et stort tall, for eksempel 324? Først ser vi på et eksempel med et mindre tall.

Eksempel 2.


Regn ut 36.
Hvis vi er heldige husker vi at 36=6. Men la oss nå primfaktorisere 36:

36=2233=2232
Vi vet også at

2232=49=36

2=4

3=9
Da må vi ha

49=49

 

Regel
Kvadratroten av et produkt av to positive tall a og b er lik produktet av kvadratrøttene av hvert tall: ab=ab


For å forklare hvorfor det må være slik, går vi tilbake til definisjonen av kvadratrot. Siden alle kvadratrøtter er større enn eller lik null, er a0 og b0 . Men da er også ab0 , siden produktet av to positive tall er et positivt tall. I tillegg er, og det er det avgjørende:

(ab)2=abab=aabb=ab.

 

Eksempel 3.

Nå kan vi finne kvadratroten til 324. Vi faktoriserer og finner at

 324=481=2292. Og da er

324=2292=29=18.

Eksempel 4.


Regn ut 4981.

Vi ser at:

4981=7292=(79)2=79.

I beregningene brukte vi potensregelen: (ab)n=anbn.

Vi legger merke til at vi også har

4981=79.

Regel
Kvadratroten av en brøk av to positive tall a og b er lik kvadratroten av teller delt på kvadratroten av nevner: ab=ab.


Vi ser direkte ved kvadrering at dette stemmer, fordi ifølge reglene for regning med potenser av en brøk har vi at

(ab)2=(a)2(b)2=ab.

Reglene over kan brukes til å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter. Når vi skal gjøre det, lønner det seg å finne de største kvadrattallene som kan faktoriseres ut av tallene under rottegnene.

 

Eksempel 5.


Regn ut: 162+508.

Vi faktoriserer ut kvadrattall:

162+508=812+25242=922+522222

Siden vi kan dele opp faktorer når vi regner med kvadratrøtter, får vi:

 922+522222=922+522222=92+5222 

Videre har vi at

 92+5222=(9+5)222=14222=142=7 

 

Eksempel 4


Vi vil forenkle 175+772.

Vi bruker samme framgangsmåte som i forrige eksempel:

175+772=257+7362=57+762=6762=72

Til slutt kunne vi, om vi ønsket det, erstattet 72 med 72 eller med 3,5 .

Det er viktig å merke seg at selv om vi har regler for kvadratrøtter av produkt og kvotient, finnes ingen tilsvarende regel for kvadratrota av en sum a+b eller av en differens ab.

Vanlige feiloppfatninger er for eksempel å tro at a+b er det samme som a+b , eller at x2+y2 er det samme som x+y . At dette er feil kan vi se ved å kvadrere begge uttrykkene:

x2+y22=x2+y2 mens (x+y)2=x2+2xy+y2.
Vi kan også overbevise oss ved å prøve med talleksempler. Sett for eksempel

a=6,b=9 og sammenlikn a+b med a+b
a=25,b=9 og sammenlikn ab med ab
eller

x=4,y=3 og sammenlikn x2+y2 med x+y
x=5,y=3 og sammenlikn x2y2 med

Del på Facebook

Del på Facebook

Begrep

  • Naturlige tall

    De positive heltallene 1, 2, 3, 4...

    Mengden av naturlige tall angis med symbolet .

    Hvis 0 skal være med i mengden bruker vi symbolet 0.

  • Kvadrattall

    Et kvadrattall er det positive heltallet som vi får når et heltall multipliserers med seg selv.

    Eksempel: 25 er et kvadrattall, fordi 55=25

  • Kvadratrot

    Kvadratrot har symbolet .

    Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi 44=16. Det skrives 16=4.

  • Primtall

    Positive hele tall større enn 1, som kun er delelig med 1 og seg selv.

    Ti fem første primtallene er: 2, 3, 5, 7, 11.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Produkt

    Produkt er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel: 2 · 7 = 14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

Hopp over bunnteksten