www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Andregradslikninger

Dette lynkurset skal handle om likninger som inneholder uttrykk som står i andre potens, såkalte kvadrater. Vi skal starte med å se på kvadratsetningene, så se på hvordan man fullfører et kvadrat, og til slutt gi et svar på hvordan man løser en generell andregradslikning – nemlig abc-formelen.

Det som skiller en lineær likning i x og en andregradslikning i x er at en andregradslikning har et ledd på formen "et tall multiplisert med x2". Likningen x2=2x er en andregradslikning i x. I tillegg til det lineære leddet 2x, har likningen også andregradsleddet x2.

En generell andregradslikning i x skrives gjerne på formen

 ax2+bx+c=0 

der a, b og c er konstante tall. Vi må ha a0, ellers er likningen lineær. Hvordan finner vi de tallene x som oppfyller en slik likning?

Vi tar en titt på eksempelet vårt:

x2=2x, 

Vi flytter over på venstresiden:

x22x=0 

Hva tenkte den første personen i verden som løste en slik likning? Denne personen var sikkert meget god i algebra, og kunne blant annet faktorisere. Det kan vi også:

x(x2)=0 

Her har vi et produkt som involverer x i begge faktorer, og det skal være 0. Følgende regel er ganske åpenbar:

Hvis ab=0, så er a=0 og/eller b=0.

 

Den sier at hvis et produkt er 0, er minst en av faktorene lik 0. Det vil si at vi må ha

x=0 eller  x2=0,

 

som gir to lineære likninger med løsninger x=0 eller x=2. Setter vi inn 0 eller 2 i den opprinnelige likningen, ser vi at de oppfyller den. Vi har funnet to løsninger.

Denne metoden med å faktorisere er det viktigste verktøyet for å håndtere andregradsuttrykk. Senere skal vi se at generelt kan vi finne x ved hjelp av det som kalles abc-formelen:

 x=b±b24ac2a.