www.matematikk.org

Faktorisering av andregradsuttrykk

Vi har nå lært hvordan vi bruker kvadratsetningene og hva et fullstendig kvadrat er. Dette skal vi nå sette sammen og bruke til å faktorisere generelle andregradsuttrykk.

Det er lettere å faktorisere uttrykk der a=1, og faktisk trenger vi ikke å faktorisere andre uttrykk. Det kan vi se, siden

 ax2+bx+c=a(x+(ba)x+(ca)) ,

 

og dermed holder det å faktorisere uttrykket x2+(b/a)x+(c/a). Den beste måten å gjøre det på er via å fullføre kvadratet.

 

For å gjøre det litt leselig viser vi metoden på et eksempel. Vi prøver å faktorisere følgende andregradsuttrykk:

 x28x+7 

Dette uttrykket minner om høyresiden i 2. kvadratsetning, men hvis vi prøver å få tallene til å passe ser vi at det ikke går an. Vi prøver å skrive det som (xd)2 for en eller annen d, og ser at for å fullføre kvadratet må vi ha konstantleddet 16. Da kan vi regne som følger.

      x28x+7   
 =x28x+1616+7  vi legger til 1616=0, som er lov
 =x28x+169  de tre første leddene er et fullstendig kvadrat
 =(x4)29  2. kvadratsetning
 =(x4)232  litt heldige med 9-tallet siden 9=32
 =(x43)(x4+3)  3. kvadratsetning!
 =(x7)(x1),   

Dette gir oss faktoriseringen

 x28x+7=(x7)(x1).

 

Grunnen til at vi kunne bruke 3. kvadratsetning i eksempelet over er at det står minustegn foran 9-tallet. Ikke alle uttrykk vil gi et minustegn (eller et 9-tall for den saks skyld) på denne plassen: Hvis vi får et plusstegn her, betyr det at uttrykket ikke kan faktoriseres.

Det er verdt å få med seg at nå som vi har faktorisert uttrykket er det ganske lett å løse likningen

x28x+7=0.

Vi fant jo at

 x28x+7=(x1)(x7),

og for at dette uttrykket skal være 0, må minst en av faktorene x1 og x7 være 0. Da ser vi at løsningene må være  x=1 eller x=7 (sjekk dette ved å sette inn i andregradsuttrykket!)

Publisert: 30.07.2013 Endret: 21.03.2014

Begrep

  • Andre kvadratsetning

    Andre kvadratsetning sier at

     (ab)2=a22ab+b2.

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Konjugatsetningen

    Konjugatsetningen sier at

     (a+b)(ab)=a2b2.

    Kalles også tredje kvadratsetning.