Å fullføre kvadratet

Et kvadrat (ofte kalt fullstendig kvadrat) er et uttrykk som står i 2. potens, altså et uttrykk på formen ${\left(...\right)}^2$, der innholdet i parentesen kan være hva som helst. Når vi har et andregradsuttrykk, altså et uttrykk der deler av det (men kanskje ikke hele) står i 2. potens, er det ofte nyttig å skrive om uttrykket slik at det ligner mest mulig på et fullstendig kvadrat. Dette kalles å fullføre kvadratet. Ved hjelp av dette kan vi skrive om et annengradsuttrykk som ${ax}^2+bx+c$ til noe på formen ${\left(...\right)}^2+r$, der $r$ er en konstant. Vi får altså fjernet det lineære leddet $bx$, noe som viser seg å ha mange fordeler.

Hvordan gjør vi så dette i praksis? Faktisk er alt vi trenger følgende enkle utregning:

Legg merke til at det eneste som skjer i utregningen, er at vi legger til og trekker fra $b^2$. Resten følger direkte fra 1. kvadratsetning. Regn gjerne over dette selv. Regelen er grei nok, men man må øve litt på å bruke den, så vi ser på noen eksempler.

Eksempel 1

Skriv uttrykket $x^2+10x+17$ på formen $u^2+r$, der $r$ er en konstant.

Dersom vi skriver koeffisienten foran $x$ som $2\cdot 5$ i stedet for 10, ser de to

første leddene i uttrykket ut som

Dette uttrykket har samme form som venstresiden i metoden over, med $b=5$. Vi prøver derfor å legge til og trekke fra $b^2=25$. Vi får da at uttrykket vi startet med blir lik

Dermed fikk vi skrevet uttrykket på formen $u^2+r$, med $u=x+5$ og $r=-8$.

Eksempel 2

Løs likningen ${2x}^2+6x=5$ for $x$ ved først å lage et fullstendig kvadrat på venstre side.

For å slippe koeffisienten foran $x^2$-leddet, deler vi likningen på 2:

Poenget er nå å fullføre kvadratet på venstresiden ved å legge til et passende tall på begge sider av likhetstegnet. I likningen er $2b=3$, så $b=\frac{3}{2}$ og vi vil legge til ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ for å fullføre kvadratet. Utregningen blir slik:

Eksempel 3

Faktoriser uttrykket $x^2+x-\frac{3}{4}$.

Vi lager et fullstendig kvadrat av  ved å legge til og trekke fra ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.$

Dette uttrykket lar seg faktorisere ved konjugatsetningen:

Resultatet blir altså at $x^2+x-\frac{3}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\mathrm{.}$