www.matematikk.org

Differensiallikninger

Derivasjon forteller oss noe om vekstfarten til en funksjon i et punkt,

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen f(x) i et punkt x=a, er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart
. Et eksempel på hvor vi bruker dette i praksis, er når vi vet hvordan prisen på et produkt er ved ulike tidspunkter og den deriverte til funksjonen vil fortelle oss noe om den momentane endringen i prisen.

Men hva hvis vi bare vet hvordan prisen endrer seg med tid? I så fall kan vi se på denne som den deriverte av funksjonen som forteller deg prisen til enhver tid. Dette er en differensiallikning, og vi skal se at løsningene av likningen vil inneholde integrasjon. Når vi regner ubestemte integraler får vi ikke en entydig løsning: det er alltid med en vilkårlig integrasjonskonstant. For å få en entydig løsning trenger vi en initialbetingelse: vi må vite hva prisen på produktet er på et eller annet tidspunkt. Da kan vi sette dette inn i løsningen vår for å finne integrasjonskonstanten, og dermed finne en entydig løsning.


Differensiallikninger er et uhyre rikt felt, både i matematikk og i naturvitenskap. I dette lynkurset ser vi kun på differensiallikninger som vi vet nøyaktig hvordan vi kan løse. I praksis viser det seg at man ofte ikke kan gi eksakte løsninger for differensiallikninger. Da er man gjerne interessert i å finne tilnærmede løsninger, og i å kunne si noe om hvor god denne løsningen er. Disse metodene har etterhvert blitt svært sofistikerte og er ofte gode nok til å kunne bli brukt anvendt i praksis.