www.matematikk.org

Irrasjonale likninger

Hva er en irrasjonal likning?

Irrasjonale likninger kjennetegnes ved at den ukjente er under et rottegn, for eksempel x=4’. 

Husk at kvadratroten av et uttrykk kun gir mening når uttrykket er større enn eller lik 0.

REGEL

For et hvilket som helst tall a gjelder følgende

a2=a.

Eksempel 1

I et kvadratisk rom med sidelengde 5 meter, la x være arealet til rommet. Da er

5=x

Vi løser likningen ved å opphøye begge sider i 2:

52=x2

 25=x

Løsningsmetode

1. Sørg for å ha alle rotutrykk på en side av likningen.

2. Opphøy i annen (kvadrer) begge sider av likningen.

3. Rydd opp i det som er igjen og finn løsningen.

4. Sett prøve på svaret! Husk at likningen x2=a har løsninger ±a når a>0. Når vi skriver a mener vi den positive roten. Det gjør at når vi kvadrerer kan det snike seg inn ekstra/falske løsninger. For eksempel er 22=-22=4.

Eksempel 2

Løs likningen  x=12-x .

 x=12-x  Vi kvadrerer,
 x2=12+x2 regner ut,
 x=144-24x+x2  og rydder opp. 
 x2-25x+144=0   

Vi får:

 x=25+492=16x=25-492=9  

som gir to løsninger.

Vi setter prøve på x=16. Dette gir oss  16=12-16, altså 16=-4. Dette er ingen løsning da den positive roten til tallet ikke kan være et negativt tall. Setter vi inn den andre løsningen x=9 derimot, får vi at 3=3. Vi konkluderer med at den eneste løsningen er x=9.

Eksempel 3

Løs likningen 1x=4.

1x=4    Vi multipliserer med x på begge sider,
1=4x    vi deler på 4 på begge sider,
14=x    vi opphøyer i annen (kvadrerer) på begge sider
x=142=116    ... og vi har løsningen

 

Eksempel 4

Løs likningen xx+33=-3.


xx+33=-3
   Vi begynner meg å kvadrere, 

x-x+332=32
   vi regner ut,

x2x+33x+(x+33)=9
   får rotuttrykk alene på  en side, 

2xx+33=-24-2x
   deler på -2,

xx+33=12+x
   bruker regelen ab=ab

x(x+33)=12+x
   kvadrerer på begge sider igjen, 

xx+332=12+x2
   regner ut,

x(x+33)=144+24x+x2
 

x2+33x=144+24x+x2 
  

9x=144
 

x=16
   ... og vi har en løsning!

 

Vi setter prøve på svaret og finner

16-16+33=-3
4-7=3
3=3

og løsningen vår er gyldig.

Publisert: 29.07.2013 Endret: 04.08.2015