Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org
Målgruppe:
R2

Magiske kvadrater

Elevene skal få en forståelse av oppbyggingen av et magisk kvadrat og kunne fylle ut noen slike. Det oppfordres til at elevene skal finne ut i hvilken grad magiske kvadrater har opptatt folk bakover i historien.

Lærerens instruksjoner

Introduksjon:   

Et magisk kvadrat består av små kvadrater satt sammen til et større kvadrat, der hvert lille
kvadrat inneholder et tall, plassert etter et bestemt mønster. Summen av tallene langs hver horisontale, vertikale og diagonale linje er den samme. Denne summen kalles ”Den
magiske summen”.

Gjennomføring:   

I et ekte magisk kvadrat skal tallene som er fylt ut være alle heltall fra 1 og opp til tallet
svarende til antall ruter i det store kvadratet. Nedenfor er et eksempel på det enkleste
magiske kvadratet:

Her er den magiske summen 15.

La dette være den første oppgaven til elevene. Presenter for dem hva et magisk kvadrat
er, og utfordre dem til å fylle ut kvadratet på 3x3 ruter (se mal 3x3).

 

Spørsmål til elevene:   Kan dere finne den magiske summen før dere har løst
oppgaven? 
(Det finnes enklest ved å legge sammen tallene fra 1 til 9 og dele summen på 3. Her kan det passe å introdusere summen av de n første naturlige tallene.)
For elever som strever: a) Hjelp dem med å finne den magiske summen.
b) Si at 5 skal stå i midten.
c) Hjelp dem til å finne ut at to og to av tallene 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 har en sum lik 10 (1+9,2+8,3+7,4+6).

 

Neste utfordring:   


La elevene prøve på et 4x4 magisk kvadrat (se mal 4x4). Introduser problemet med en
felles klassediskusjon for å finne den magiske summen. Se om elevene kan oppdage at:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=(1+16)162=136
Da er den magiske summen 136:4=34, og videre få fram at at
1+2+...+n=(1+n)n2,

så hvis et kvadrat har n ruter, er den magiske summen

(1+n)n2:n.


Nå skal elevene prøve å fylle ut et magisk kvadrat på 4x4 ruter. Da må de nok få litt
hjelp. Du kan enten:

a) Gjøre det til et puslespill (se mal puslespill), eller
b) Fylle inn noen av tallene på forhånd, og la de som strever mest få flere tall plassert av deg etter hvert som de begynner å miste motet.

 

Løsning:           


NB! Det finnes flere riktige løsninger.

 

Enda en utfordring:    

Her er to magiske kvadrater oppå hverandre. Det ene er ekte, mens det andre starter der
det første slutter. Kvadratene er lagt oppå hverandre slik at summen av tallene langs
diagonalene  i det doble kvadratet er lik for begge diagonalene.













Lag et puslespill, eller halvferdig utfylte kvadrater til elevene, slik som utfordringen ovenfor (se mal to magiske kvadrater).


Les mer: http://www.grogono.com/magic/text-magichome.shtml#Top.

For historisk overblikk:    

Se for eksempel http://www.grogono.com/magic/text-history.shtml.

Her finner du for eksempel Benjamin Franklins berømte kvadrater, som ikke er ekte magiske kvadrater, men som har mange interessante mønster i seg. Gi eventuelt elevene i oppgave å oppdage disse mønstrene.

 

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R2
    • Algebra
      • finne og analysere rekursive og eksplisitte formler for tallmønstre med og uten digitale hjelpemidler, og gjennomføre og presentere enkle bevis knyttet til disse formlene

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    pararbeid

  • Utstyr

    maler (under vedlegg)

  • Tidsbruk

    dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    introduksjon til tallteori

Skrevet av

Ingvill M. Stedøy-Johansen
Ingvill M. Stedøy-Johansen

Institusjon

NTNU