Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Parenteser og faktorisering

Hvordan fungerer parenteser og bokstaver sammen? Hva var faktorisering igjen?

Eksempel med tall og parenteser

Regn ut 5(3+2).

Vi kan gjøre dette regnestykket på to måter.

1. Vi regner ut uttrykket i parentesen og deretter multipliserer med 5:

 5(3+2)=55=25 

2. Vi løser opp parentesen og trekker sammen:

 5(3+2)=53+52=15+10=25 

Eksempel med bokstaver og parenteser

Regn ut a(b+c).

Vi ser at fremgangsmåten 1. i eksemplet med tall kan vi ikke bruke da vi ikke kan trekke sammen b+c. Men fremgangsmåten 2 fungerer på tilsvarende måte som for tall:

a(b+c)=ab+ac=ab+ac 

Nå er vi ferdige da vi ikke kan trekke uttrykket mer sammen. Svaret er bokstavuttrykket ab+ac.  Når vi regner med bokstaver og paranteser, gjelder de samme reglene som for tall.

Flere eksempler med bokstaver

  •  b(ab+c)=ab2+bc 
  •  z(xy)=zxzy 
  •  a(b+6)=ab+6a
  • a(b+2a+2b)=a(2a+3b)=a2a+a3b=2a2+3ab

I det siste eksemplet la vi først sammen de to like leddene med b og så løste vi opp parentesen. Men hvorfor fikk vi lov å trekke sammen ledd med like bokstaver? For å forklare dette må vi først repetere hva det betyr å faktorisere.

Faktorisering

Når vi gjør om ab+ac til a(b+c), kalles det å faktorisere. Dette er ett og samme uttrykk skrevet på to ulike måter.


 ab+ac=a(b+c) 

Hva har vi egentlig gjort? Jo, vi ser om leddene ab og ac har noe felles. Vi ser at i begge ledd finner vi bokstaven a. Bokstaven a kalles en fellesfaktor (det er faktor siden den multipliserer de andre to bokstavene og så er den felles). Etter at vi fant en fellesfaktor, kan vi trekke a utenfor parentesen. Da har vi faktorisert uttrykket vi begynte med. 

Eksempler på faktorisering

  •  ab+ac=a(b+c)
  •  cd2+ca=c(d2+a) 
  •  xyxyz2=xy(1z2) 
  •  aba2b2+ba2=ab(1ab+a) 
  •  2a+4b=2(a+2b) 

Er du usikker på om du har faktorisert riktig, så kan du enkelt selv sjekke dette. Regn ut uttrykket med parentesen og svaret skal være uttrykket du begynte med.


Faktorisering bruker vi ofte når vi forkorter brøker. For mer om dette, se lynkurset Brøk.

Eksempel - hvofor er 2a og b lik b ?

Nå kan vi forklare hvorfor uttrykkene i parentesen i regnestykket under er like.

 a(2b+3ab)=a(3a+b)=3a2+ab 
Her ser vi at 2b og b ble til b. Dette gjorde vi ved å bruke faktorisering på en smart måte!

La oss se nøye kun på uttryket i parentesen:

 2b+3ab=
Først skriver vi alle ledd med samme bokstav etter hverandre.

 2bb+3a=2b1b+3a= 

Fellesfaktoren trekkes ut og skrives foran parentesen.

 b(21)+3a= 

Nå ser vi at i parentesen har vi to vanlige tall som vi kan regne ut.

 b1+3a=b+3a 

Vi står igjen med b multiplisert med 1 som er det samme som b

Multiplikasjon av to parenteser

Fremgangmåter vi så i det første eksempelet med tall gjelder også når vi har flere parenteser. Vi kan enten

  • først trekke sammen ledd i parentesen og deretter løse opp parentesen
    eller
  • først løse opp parentesen og deretter trekke leddene sammen.

Når vi regner med bokstaver, som vi så i det andre eksempet, må vi alltid først løse opp parentesen og deretter trekke leddene sammen. Denne regelen er gjeldende også i bostavuttrykk med flere parenteser.

Eksempler

a) (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
b) (a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc
c) (ab)(b+c)=ab+acb2bc
d) (a+2)(a+3)=a2+3a+2a+6=a2+5a+6 

Legg merke til at vi kan skrive uttrykket i b) på enda en måte (trekk ut fellesfaktorer):
(a+b)(b+c)=a(b+c)+b(b+c)

Begrep

  • Addisjon

    Er det samme som å legge til, legge sammen eller plusse sammen.

    Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
    Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet, 12, kalles en sum.
    Mellom leddene skrives plusstegn +.

  • Faktor

    I en multiplikasjon kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. 

    Eksempel: 5 · 3 = 15. Her er 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet. Vi kan si at 15 består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Felles faktor

    En felles faktor er et tall som finnes som faktor i to eller flere tall. Største felles faktor er det største tallet som er felles faktor.

    Eksempel: 12 og 8, her er 2 og 4 felles faktor og 4 er den største felles faktor.

  • Ledd

    I en addisjon kalles tallene som legges sammen for ledd.

    Eksempel: 8+3+5=16 , her kalles tallene 8, 3 og 5 for ledd.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).