Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Separable differensiallikninger

Videoen forklarer separable differensiallikninger og viser et eksempel på løsning av en slik likning med initialbetingelse.

Separable differensiallikninger


Rettighetshaver: UiO / UiO

 

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller d2f(x)dx2 f(x)= 0

Differensiallikning
 
 

 

Oppgaver

1. Er likningen y(1+e-y)y'=x2+ln3 en separabel differensiallikning?

FASIT

Ja. En differensiallikning er separabel hvis den er på formen p(y)y'=q(x) der p og q er gitte funksjoner.  Med p(y)=y(1+e-y) og q(x)=x2+ln3 ser vi at likningen over er en separabel differensiallikning.

I dette eksempelet er y en funksjon av variabelen x. Vi bruker forkortelsene y' og y, for  y'(x) og y(x) når vi løser differensiallikninger.



2
.
Løs den separable differensiallikningen y'=3.

FASIT

y(x)=3x+C

Løsningsforslag:

y'=3

y'dx=3dx

dydxdx=3dx

dy=3dx

y(x)=3x+C



3.
Løs den separable differensiallikningen y'=x.

FASIT

y(x)=12x2+C



4.
Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=12x2+3 oppfyller differensiallikningen y'=x.

FASIT

y'=(12x2+3)'=122x+0=x

 

5. La k. Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=kx oppfyller differensiallikningen 1yy'=1x.

FASIT

y(x)=kx og y'(x)=k


1yy'=1kxk=1x 

 

6. La y'=xy+3y. Vis at likningen kan skrives på formen p(y)y'=q(x).

FASIT

y'=xy+3y

y'=y(x+3)

1yy'=x+3

 

6. Kan likningen y'=y+x skrives på formen p(y)y'=q(x)?

FASIT

Nei.

Ingen manipulasjoner av likningen vil gjøre at vi kan få det på denne formen. I siden "første ordens lineære differensiallikninger" vil du lære å løse slike likninger.

 

 

7. Løs den separable differensiallikningen 1yy'=x+3.

FASIT

y(x)=Ce12x2+3x

Løsningsforslag:

1yy'=x+3

1ydy=(x+3)dx

lny=12x2+3x+C1

y=e12x2+3x+C1

y=eC1e12x2+3x

y(x)=Ce12x2+3x



8. La C. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=Ce12x2+3x oppfyller differensiallikningen i oppgave 7.

FASIT

y(x)=Ce12x2+3x og y'(x)=(x+3)Ce12x2+3x

 

1yy'=1Ce12x2+3x(x+3)Ce12x2+3x=x+3



9.
Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=ex1+ex oppfyller differensiallikningen y'=y(1-y).

FASIT

y=ex1+ex og y'=ex(1+ex)-exex(1+ex)2=ex(1+ex)2


y(1-y)

=ex1+ex(1-ex1+ex)

=ex1+ex-e2x(1+ex)2

=ex(1+ex)(1+ex)2-e2x(1+ex)2

=ex(1+ex)2

=y'