www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Nullpunktsetningen – når går divisjonen opp?

Her skal vi se på et pent resultat som noen ganger gir oss svar på når en polynomdivisjon kommer til å gå opp eller ikke – før vi gjør divisjonen!

Først en enkel definisjon:

Definisjon. Delelige polynomer

Dersom polynomdivisjonen Px:Qx går opp, sier vi at Px er delelig med Qx. Dette er det samme som at det finnes et polynom Sx slik at Px=QxSx.

Definisjonen gir oss dette fine teoremet:

Teorem. Nullpunktsetningen

La Px være en polynomfunksjon og a et tall. Da gjelder ekvivalensen

Px er delelig med x-aPa=0.


Beviset er nok mest for spesielt interesserte. For å se det, trykk på det.

Bevis

Vi må vise implikasjonene hver for seg.

:Anta at Px er delelig med x-a. Ifølge definisjonen over finnes det da et polynom S(x) slik at P(x)=(xa)S(x). Setter vi inn x=a her, får vi at

Pa=a-aSa=0

Dette viser implikasjonen mot høyre.

: Anta nå at P(a)=0, og betrakt polynomdivisjonen P(x):(xa). Som vi snakket om i en tidligere seksjon finnes det et polynom S(x) og et tall R (fordi xa har grad 1), slik at

Pxx-a=Sx+Rx-a.

Ganger vi med xa på begge sider, gir dette at P(x)=S(x)(xa)+R. Men hvis vi nå setter inn x=a og bruker antagelsen om at Pa=0, får vi at:

Pa=Saa-a+R R=0.

Dermed må vi ha P(x)=S(x)(xa), som betyr at P(x) er delelig med xa. Dette viser implikasjonen mot venstre.

Eksempel 

Nullpunktsetningen er uvurdelig når man skal faktorisere polynomer. Dette eksempelet er typisk.

Oppgave. La px=x3+x24x4. Vis at p-1=0. Bruk dette til å faktorisere x3+x24x4 i faktorer av første grad.

Løsning. Vi regner ut at p-1=-13+-124-14=1+1+44=0. Ifølge nullpunktsetningen betyr dette at px er delelig med x(1), altså x+1. Utfører vi polynomdivisjonen på vanlig måte, finner vi at

x3+x2-4x-4:x+1=x2-4.

Dette gir faktoriseringen x3+x24x4=(x+1)(x24). Ved konjugatsetningen er x24=(x+2)(x2), slik at den fullstendige faktoriseringen blir

x3+x2-4x-4=x+1x+2x-2.

Publisert: 11.01.2014 Endret: 20.08.2014