www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Topp- og bunnpunkter

Ofte er vi interessert i når en funksjon har sin maksimale verdi eller sin minimale verdi. Dette skjer i topp- og bunnpunktene til funksjonen.

La funksjonen pt være prisen til en vare som varierer med tiden t. Vi ønsker å kjøpe varen når den er billigst, altså når prisen er lavest. Dette er bunnpunktet til pt. For å tjene mest på varen, ønsker vi å selge denne når prisen er høyest eller når toppunktet nås.

Et toppunkt for en funksjon fx er et punkt a i definisjonsmengden der funksjonsverdien fa er større enn fx i alle nabopunkter, altså alle punkter i et intervall rundt a.

Et bunnpunkt for en funksjon fx er et punkt a der funksjonsverdien fa er mindre enn fx  i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt . Ekstremalpunkter er en fellesbetegnelse på topp- og bunnpunkter til en funksjon.

Vi skiller mellom lokale og globale ekstremalpunkter. Et globalt toppunkt er et punkt a der funksjonsverdien fa er høyere enn alle andre funksjonsverdier av f på hele definisjonsområdet. Et lokalt toppunkt er, som navnet indikerer, en topp lokalt på grafen. Det betyr at hvis du ser på bare en del (som inneholder punktet), så har punktet høyere funksjonsverdi enn alle andre funksjonsverdier i den delen.

Tilsvarende gjelder lokale og globale bunnpunkter.

Definisjon. Lokale og globale ekstremalpunkter

  • f har et lokalt maksimum i x=a dersom faf(x) for alle verdier av x i nærheten av a.
  • f har et globalt maksimum i x=a dersom fafx for alle verdier av x i hele definisjonsområdet.
  • f har et lokalt minimum i x=a dersom fafx for alle verdier av x i nærheten av a.
  • f har et globalt minimum i x=a dersom fafx for alle verdier av x i hele definisjonsområdet.

En samlebetegnelse på maksimums- og minimumspunkter er ekstremalpunkter.

Dersom a er et ekstremalpunkt kaller vi verdien fa for den korresponderende ekstremalverdien.

Begrepene toppunkt og bunnpunkt brukes også ofte: Hvis f har et (lokalt) maksimum i x=a, har grafen et (lokalt) toppunkt i (a,f(a)), og tilsvarende med bunnpunkt.

Figur 1 under illustrerer forskjellen mellom lokale og globale ekstremalpunkter. Legg merke til at alle globale ekstremalpunkter også er lokale.

 

I praksis bruker vi sjelden definisjonen over når vi skal regne ut ekstremalpunktene til en funksjon. I stedet drar vi nytte av det vi gjorde i forrige seksjon. Der så vi nemlig at grafen til f var voksende i intervaller der f(x)0, og avtagende i intervaller der f(x)0. Dette betyr at i punkter der f(x) skifter fortegn, flater grafen ut og gir enten et topp- eller bunnpunkt. Mer presist:

Teorem

Anta at f er kontinuerlig og deriverbar i x=a, og at f(a)=0.  

  • Dersom f(x) skifter fortegn fra + til − i x=a, har f et lokalt maksimumspunkt i x=a.
  • Dersom f(x) skifter fortegn fra − til + i x=a, har f et lokalt minimumspunkt i x=a.

Dersom f(a)=0 og f(x) ikke skifter fortegn i a, har vi det vi kaller et terrassepunkt. Topp-, bunn- og terrassepunkter er altså de eneste punktene på en graf der tangenten kan være horisontal (se figuren under).

 

Eksempel

Oppgave. Bestem de lokale maksimums- og minimumspunktene til funksjonen f(x)=x312x24x+1 og undersøk om noen av dem er globale.

Løsning.

Vi finner først den deriverte: f'x=3x2-x-4

Fortegnslinjen ser slik ut:

 

 

Den forteller at f(x) er positiv fram til x=1, og negativ etter. Punktet x=1 er derfor et lokalt maksimumspunkt. Tilsvarende har vi et lokalt minimumspunkt når x=43. Ingen av disse er imidlertid globale, fordi f(x) går mot uendelig når x, og mot minus uendelig når x

Publisert: 16.08.2013 Endret: 08.12.2014