Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Treningsoppgaver med fasit

Lenke til dette oppgavesettet (kan bokmerkes)

Oppgaver

1

ID: 66329

En skole har 3 klasser. I klasse 1 er det 21 elever hvorav 9 er jenter, i klasse 2 er det 17 elever hvorav 4 er jenter og i klasse 3 er det 28 elever hvorav 16 er jenter. Rektoren ved skolen skal tilfeldig plukke ut en elev.

Vi ser på hendelsene

  • "elev er jente" = J
  • "elev går i klasse 1" = EN 

 

a) Tegn opp et venndiagram for utfallet som er delt i 3 (en del for hver klasse). Så deler du hver av disse 3 delene i 2 og angir antall jenter og antall gutter for hver av klassen.

b) Hva er sannsynligheten for P(J) ?

c) Hva er sannsynligheten for P(EN)?

d) Hva er sannsynligheten for P(J|EN)?

e) Hva er sannsynligheten for P(EN|J)?

 

2

ID: 66317

I en fyrstikkeske ligger det 2 brukte og 2 ubrukte fyrstikker. Vi trekker tilfeldig ut 2 fyrstikker. Vi betegner hendelsene som

  • "første fyrstikk brukt" = A
  • "andre fyrstikk brukt" = B
  • "andre fyrstikk ubrukt" = C 

  a) Hvilken hendelse er det som mangler?

  b) Hva må vi vite før vi kan vite noe om P(B) og P(C)?

 c) Hva er P(B|A) og P(C|A)?

 d) Hva hadde c) vært om A = "første fyrtikk ubrukt"?

3

ID: 49477

I en hundegård står det 14 tisper og 10 hannhunder. Fire hunder trekkes tilfeldig.
Finn sannsynligheten for at de to første er tisper og de to siste er hannhunder.

4

ID: 66316

I en fyrtikkeske ligger det 10 fyrtikker, av disse er 4 ubrukte. Vi trekker tilfeldig ut 2 fyrstikker. Vi betegner hendelsene som

  • "første fyrtikk ubrukt" som a 
  • "første fyrtikk brukt" som b 
  • "andre fyrtikk ubrukt" som A 
  • "andre fyrstikk brukt" som B

a) Hva er sannsynligheten for P(a)?

b) Hva er sannsynligheten for P(b)?

c) Hvorfor gir det ingen entydig mening å snakke om P(A) og P(B)?

d) Hva er sannsynligheten for P(A|a) og P(B|b)?  

5

ID: 49307

En mattelærer ga klassen sin to tester. 25% av elevene i klassen besto begge testene og 42% av elevene besto bare den 1. testen. 
Hvor mange av de som besto den 1. testen besto også den 2. testen? 

6

ID: 49418

Det er 90% sannsylig at Tom vil bestå teoriprøven til førerkortet, mens Tim vil bestå med 85% sannsylighet. Begge reiser samtidig til biltilsynet for å avlegge teoriprøven.
Hva er sannsyligheten for at Tim består når du vet at minst en av dem består?

7

ID: 49423

En sprinter løper 100m, 200m og 400m under et friidrettsstevne. Sprinteren har 80% sannsynlighet for å vinne hvert av de tre løpene.
Finn sannsynligheten for at sprinteren vinner det andre løpet nå du vet at han vinner minst to løp?

8

ID: 49394

I en kasse ligger det 10 sendeplater; 5 gule, 3 svarte og 2 grønne. Det trekkes to sendeplater tilfeldig og uten tilbakelegging.
Gitt at den andre platen var svart, hva er sannsynligheten for at begge er svarte?

9

ID: 49459

En urettferdig mynt er slik at sannsynligheten for å få "Mynt" er 0,7. Mynten kastes tre ganger.
Hva er sannsynligheten for å få to Mynt gitt at du har fått minst én Mynt.

10

ID: 66378

Den uerfarene tyske turisten Gûnter har gått seg vill oppe i den norske fjellheimen. Han befinner seg på en sti som deler seg i to. Altså det første veiskillet. Han vet den ene veien fører fram mot hytta han skal til, mens den andre vil resultere i at han får sett altfor mye av norsk natur.

Vi beskriver hendelsene

  • "riktig ved første veiskille" = A
  • "feil ved første veiskille = B

a) Siden Gûnter ikke har peiling på hvilken av de to stiene som fører fram til hytta, hva er da sannsynligheten for P(A)?

Nå viser det seg at den riktige stien også deler seg i to, der den ene stien fører rett til hytta mens den andre vil være feil. Så med andre ord kan Gûnter velge riktig ved det første veiskille mens ved det andre veiskille velge feil. Gûnter har heller ikke i dette veiskillet peiling.

Vi beskiver hendelsene

  • "velger riktig ved andre veiskille" = C 
  • "velger riktig ved andre veiskille gitt velger riktig ved det første" = C|A
  • "velger riktig ved første og andre veiskille" = AC

b) Tegn opp hendelsene A,B,C og AC i ett og samme venndiagram. Blir det riktig å tegne opp C|A inn i dette venndiagrammet?

c) Finn P(C|A) og P(AC).

d) Hva er sannsynligheten for P(C|B) og P(BC)? (lurespørsmål!)  

Fasit

1

ID: 66329
Fasit:

b) Totalt 66 elever (21+17+28) på hele skolen og totalt 29 jenter (9+4+16) på skolen dermed er P(J)=2966

 

c) P(EN)=2166

d) Hendelsen J|EN = "elev er jente gitt at elev går i klasse 1". Det er 9 jenter i klasse 1 og totalt 21 elever i klasse 1 dermed er

   P(J|EN)=921=27

e) Hendelsen EN|J = "elev går i klasse 1 gitt at elev er jente". Det er 21 elever i klasse 1 og totalt 29 jenter på hele skolen. Dermed er

  P(EN|J)=2129

 

 

 

2

ID: 66317
Fasit:

a) Hendelsen "første fyrstikk ubrukt".

b) Hendelse B og C avhenger av om den første fyrstikken er brukt eller ubrukt.

c) P(B|A) = 13 og P(C|A) = 23

d) Omvendt

 

 

3

ID: 49477
Fasit:

6,4%

4

ID: 66316
Fasit:

a) 25

 

b) 35

c) Fordi sannsynligheten for disse hendelsene avhenger av om den første fyrtikken som ble trukket er brukt eller ubrukt. Dvs. hendelsene er avhengig og sannsynligheten er betinget.

d) 13 og 59

 

5

ID: 49307
Fasit:

60%

6

ID: 49418
Fasit:

86,29%

7

ID: 49423
Fasit:

0,6886

8

ID: 49394
Fasit:

29

9

ID: 49459
Fasit:

0,453

10

ID: 66378
Fasit:

a) En riktig og en feil, tilfeldig hvilken som er riktig, derfor er P(A) = 0,5.

b) Dette venndiagrammet illustrerer utfallsrommet for begge veiskillene. Tegn opp en stor firkant. Inne i denne tegner du opp 2 rundinger; en for hendelse A og en for hendelse B (disse skal være disjunkte, dvs de skal ikke gå oppå hverandre). Så inne i A tegner du inn en liten runding som er AC.

Nei, det blir ikke riktig. Siden for at hendelsen C|A skal inntreffe så må A ha inntruffet. DA er utfallsrommet blitt kun A. (denne kan være litt tung å fordøye, men har du skjønt dette har du kommet langt)

c) Også tilfeldig hva som er riktig og hva som er gal sti i andre veiskillet, derfor er

                                                             P(C|A) = 0,5

    Fra produktsetningen for avhengige hendelser er

                                      P(AC)=P(C|A)P(A)=0,50,5=0,25

d) Har Gûnter valgt feil ved første veiskillet kan han aldri komme til det andre veiskillet og heller da ikke komme fram til hytta, derfor er P(C|B)=P(BC)=0

Vi får bare ønske Gûnter lykke til!