Øvingsoppgaver med fasit

Anta at vi har en trekant med vinkler på ${30}^o$, ${60}^o$ og ${90}^o$. Den største kateten er $a$, den minste kateten er $b$ og hypotenusen kalles $c$.

a) Bruk trekanten til å vise at $\cos \left({30}^o\right)=\sin \left({60}^o\right)$ og at $\sin \left({30}^o\right)=\cos \left({60}^o\right)$.

b) I en ${30}^o,{60}^o,{90}^o$-trekant er den korteste kateten halvparten så lang som hypotenusen, altså er $b=\frac{1}{2}c$. Hvor stor blir $a$ uttrykt ved $c$ ?

c) Vis at $\sin \left({30}^o\right)=\frac{1}{2}$ og at $\sin \left({60}^o\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vi har en rettvinklet, likebeint trekant med kateter lik $x$ og hypotenus lik $h$. Den mellomliggende vinkelen mellom $x$ og $h$, kalles $\angle v$.

a) Vis at $x=\frac{\sqrt{2}}{2}h$.

b) Hvor stor er $\angle v$ ?

c) Finn de eksakte verdiene til $\sin \left(v\right)$ og $\cos \left(v\right)$ ved hjelp av definisjonene av sinus og cosinus.

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 8,5 cm lang, og den ene kateten er 5,4 cm lang. Hvor lang er den andre kateten?

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 9 cm og hypotenusen 41 cm. Finn den andre kateten.

I en likebeint rettvinklet trekant er katetene 5.4 cm. Regn ut hypotenusen.

En bordplate er 0,78 m bred og 1,39 m lang. Hvor lang er diagonalen i bordplaten?

Er en trekant med sider 5, 12 og 13 rettvinklet?

En sirkel med sentrum S har en radius på 5 cm. Et punkt P ligger 13 cm fra S. En tangent til sirkelen går gjennom P. Hvor langt er det fra P til tangeringspunktet?

I en sirkel er periferivinkelen  ($\angle BCA$ ) alltid lik halve sentrumsvinkelen ( $\angle ASB$ ).

a) Forklar hvorfor $\mathrm{\Delta }ABC$ må være rettvinklet.

b) Anta at $BC=a$ og at $AC$ er dobbelt så lang som $BC$. Vis at arealet av halvsirkelen unntatt $\mathrm{\Delta }ABC$ er gitt ved $A=(\frac{5\pi }{8}-1)a^2$.

$\angle B={90}^o$. Finn lengden av $AB$, $DB$ og $CD$.