Matematiske bevis

Et grunnleggende spørsmål i så måte er hva et bevis er. For å kunne svare på dette må man ta et skritt tilbake og si noe om hva slags vitenskap matematikk er.

I motsetning til naturvitenskapene, som forsøker å forklare og forstå naturen, går matematikk i en annen retning. Riktignok ligger mye av motivasjonen for matematikk i naturen, i naturlovene og i intuisjon knyttet til naturlige prosesser og fenomener, men matematikk er en aksiomatisk vitenskap, dvs. at all teori baserer seg på et sett av aksiomer, eller grunnsetninger. Disse grunnsetningene forsøker vi ikke å bevise, vi trenger ikke å ta stilling til om de er sanne eller ikke, vi bare sier at de utgjør vårt grunnlag og så baserer vi vår teori på det. En slik grunnsetning kan være: To vilkårlig valgte linjer er enten parallelle, sammenfallende eller så skjærer de hverandre i ett punkt. Dette aksiomet er motivert fra plangeometri, fordi vi oppfatter at det er slik geometrien er. Men når vi skal lage teorien forsøker vi ikke å bevise dette, i stedet bestemmer vi oss for at sånn er det og så bruker vi det som grunnlag for å bevise andre plangeometriske setninger. Matematikken blir på denne måten relativ og ikke absolutt; gitt følgende sett av grunnleggende antakelser (aksiomer), da gjelder slik og slik. Ett aksiom kan gjelde for en teori, men ikke for en annen. F.eks. vil aksiomet "Enhver rett (uendelig lang) linje deler planet i to deler," som passer godt i en plangeometrisk setting, ikke ha noen fornuftig motsats i romgeometri.

Et eksempel på en matematisk setning er setningen som sier at kvadratroten til 2 ikke er noe rasjonalt tall.

En matematisk setning

Det finnes tall som ikke er rasjonale (se begrepsspalten), et eksempel er løsningen av likningen $x^2-2=0$. Dette tallet kalles kvadratroten til 2, $\sqrt{2}$.

Det aksiomatiske grunnlaget i denne sammenhengen er aksiomene for hele tall. Gitt en mengde av elementer (kalt tall) som er slik at vi har to forskjellige regler som til ethvert par av tall tilordner et annen tall (addisjon og multiplikasjon). Aksiomene krever nå at vi skal ha kommutativitet $\left(2+3=3+2\right)$, assosiativitet $\left(2+\left(3+4\right)=\left(2+3\right)+4\right)$ (2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4) , distributivitet, negative tall, 0, 1 og at disse oppfyller de vanlige regnereglene. En mengde som oppfyller alle disse egenskapene og noen til kalles rasjonale tall. En av tilleggskravene er forholdstallegenskapen, for elementer $a$ og $b$ i mengden av rasjonale tall og hvor $b$ ikke er lik 0, så finnes forholdet $\frac{a}{b}$ også som element i mengden.

På dette grunnlaget kan vi ved hjelp av små skritt som er logisk sett holdbare bevise setningen over.

Bevis for setningen

Vi starter med å anta det motsatte av det vi skal bevise og viser så at da får vi ut en motsigelse. Siden verden ikke skal inneholde motsigelser kan vi fra dette slutte at antakelsen var gal.

Anta derfor at kvadratroten av 2 er et rasjonalt tall, som vi skriver $\frac{a}{b}$ og hvor vi har forkortet mest mulig (dette er helt vesentlig for bevisets gang). Dersom vi nå kvadrerer dette tallet får vi likheten $\frac{a^2}{b^2}=2$ , eller  $a^2=2b^2$. Nå bruker vi en egenskap ved hele tall som sier at dersom 2 deler et produkt, så deler 2 minst en av faktorene, dvs siden $a$ deler $a^2$ så er $a$ delelig med 2. Vi kan derfor skrive $a=2c$. Setter vi dette inn i stedet for $a$ får vi  ${\left(2c\right)}^2=4c^2=\frac{2}{b^2}$ og det følger at  $b^2=2c^2$ som igjen betyr at $b$ deles av 2. Men da er både $a$ og $b$ partall (delelige med 2), noe som strider mot vår antakelse, og vi har en motsigelse. Konklusjonen blir dermed at kvadratroten av 2 ikke kan skrives som et rasjonalt tall. Denne bevisteknikken kalles kontrapositiv; dette er et kontrapositivt bevis.

I de enkelte skrittene i beviset bruker vi logisk korrekte avledninger, eller implikasjoner. Vi skriver en implikasjon som en dobbelt pil ($\Rightarrow$).
Et eksempel på en implikasjon er utsagnet:

$a$ er et partall $\Rightarrow$ $a^2$er delelig med 4

I dette tilfellet har vi attpåtil en ekvivalens, altså en implikasjon begge veier, siden påstanden

$a^2$ er delelig med 4 $\Rightarrow$ $a$ er et partall.

I slike tilfeller skriver vi

$a^2$ er delelig med 4 $\Rightarrow$ $a$ er et partall

Slik er det ikke alltid. For eksempel er det sant at:

$a$er et positivt tall $\Rightarrow$ $a^2$er et positivt tall,

men nå er ikke den motsatte implikasjonen riktig. Vi kan ikke slutte at $a$ er et positivt tall bare fordi $a^2$ er positivt.

Setter vi sammen flere implikasjoner kan vi lage et direkte bevis (i motsetning til kontrapositivt, som vi kan oversette med et ”motsatt” bevis). Som et eksempel på et direkte bevis kan vi se på påstanden:

For alle hele tall $a$, så er $a^5-a$ delelig med 10.

For å bevis dette kan vi argumentere som følger. Vi trenger bare å sjekke det siste sifferet i tallet og avgjøre om dette alltid blir 0. For $a=0$ er det opplagt riktig. Nå legger vi til 1 til $a$ og ser hva som skjer.

${\left(a+1\right)}^5-\left(a+1\right)=a^5-5a^4+10a^3+10a^2+5a+1-a-1=$

$=\left(a^5-a\right)+\left(5a^4+10a^3+10a^2+5a\right)$

I den siste parentesen er alle tallene delelige med 5. Men mer enn det, hvis $a$ er et partall så er alle delelige med 10, og hvis $a$ er et oddetall så er også $a^4$ et oddetall, og summen av første og siste ledd er dermed delelig med 10. Det betyr at hele den siste parentesen alltid er delelig med 10. Men det betyr at dersom $a^5-a$ er delelig med 10, så er også ${\left(a+1\right)}^5-\left(a+1\right)$delelig med 10. For $a=0$ stemmer det, derfor også for $a=1$, men da stemmer det også for $a=2$ og dermed for $a=3$, osv. Med andre ord - det stemmer for alle tall.

Dette er et eksempel på et direkte bevis, men det er også et eksempel på det som kalles et induksjonsbevis. Kjennetegnet for et induksjonsbevis er at dersom noe gjelder for et bestemt helt tall, og det samme alltid gjelder for tallet som er 1 større, så vil resultatet gjelde for absolutt alle hele tall (fra og med det tallet vi begynte med).