Brachistokromen

I 1696 presenterte han et problem som han hadde filosofert litt over, det som er kjent som brachistokrom-problemet. I tidsskriftet Acta Eruditorum skrev han: "Nytt problem som matematikere er invitert til å løse: Gitt to punkter A og B i et vertikalt plan. Vi lager veier fra A til B og lar en kloss skli langs veien, bare ved hjelp av tyngdekraften. Hvordan ser den veien ut som gir kortest skli-tid?"

Figur : To veier mellom punkt A og B.

I figur 1 har vi tegnet inn to veier, en rett linje og en nokså krum en. Vi skal altså la klosser skli langs veiene, og oppgaven går ut på å finne ut hvordan den veien ser ut som gir den raskeste løsningen. Bernoulli utlovet en belønning til den som løste dette problemet: ".. ikke av gull eller sølv… Heller, siden det å få til noe er sin egen belønning … er prisen ære, berømmelse og anerkjennelse, bekjentgjort muntlig og skriftlig…" Bernoulli sendte et brev med problemet til flere kjente matematikere, blant andre Isaac Newton. Newton fikk brevet klokka fire på ettermiddagen den 29. januar 1697. Han var trøtt og sliten, men satte seg likevel ned og begynte å regne. Klokka fire om natta hadde han løst problemet!

I dag har vi flere metoder for å løse problemet, basert på Newtons matematikk. Noe av det mest interessante ved løsningen er at den er nært knyttet til et annet matematisk problem, nemlig å finne den kurven som et punkt på et rullende hjul beskriver når hjulet ruller, den såkalte sykloiden i figur 2.

Figur 2: Sykolide.

De to kurvene er faktisk de samme. Som Bernoulli sier det (fritt oversatt): "Det virker som om naturen vil at det skal være slik. For, siden naturen er vant til å opptre på den mest mulig rasjonelle måten, så har den her valgt å bruke samme kurve til to forskjellige formål".

Løsningen er

$x=\frac{k^2}{2[t-\sin (t)+s(1-\cos \left(t\right)\left)\right]}$

$y=\frac{k^2}{2[1-\cos (t)+s(t-\sin \left(t\right)\left)\right]}$

hvor k og s er konstanter (s har med friksjon å gjøre) og t må velges i et passende intervall.