Aksiomer for reelle tall

På skolen lærer vi at vi har vi fire regnearter, addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon. Jeg påstår at det ikke er fire, men bare to, addisjon og multiplikasjon. Og hvis vi bare hadde å gjøre med hele tall har vi egentlig kun én regneart, nemlig addisjon. I det tilfelle kan vi se på multiplikasjon som repetert addisjon, $3\cdot 5=5+5+5$. Dette går ikke med reelle tall, for hvordan skulle vi framstille $\pi \cdot \pi$ som repetert addisjon? Det er ikke mulig siden $\pi$ ikke er et helt tall. Vi kan ikke legge sammen noe $\pi$ ganger. Derfor trenger vi to regnearter for reelle tall, men bare én for hele tall.

De andre to regneartene, subtraksjon og divisjon, kan vi se på som avarter av addisjon og multiplikasjon. Hvordan? La oss holde oss til addisjon. For det første observerer vi at det finnes ett tall som er mer spesielt enn de andre, nemlig tallet 0. Dette tallet har den egenskapen at det ikke forandrer noen ting når det legges til et annet tall, og det er det eneste som oppfører seg på denne måten. De negative tallene tvinger seg fram med en gang 0 er på plass. Tallet -3 er nettopp laget for å være det som vi kan legge til 3 og få 0. Tilsvarende for alle negative tall, $-\pi +\pi =0$ osv. Når vi har oppdaget de negative tallene kan vi lett beskrive subtraksjon, rett og slett som addisjon av et positivt og et negativt tall, for eksempel 5 - 3 = 5 + (-3) = 2. Dermed trenger vi ikke å se på subtraksjon som en egen regneart.

Tilsvarende kan vi gjøre for divisjon. Først må vi finne det tallet som i forhold til multiplikasjon spiller rollen som 0 gjør for addisjon. Dette tallet er 1. På samme måte som at den viktigste egenskapen til 0 er at ikke noe endres om vi legger til 0 så vil ikke noe forandres om vi ganger med 1. Vi har at $3\cdot 1=3$. Divisjon avleder vi fra multiplikasjon på samme måte som subtraksjon avledes fra addisjon. For alle reelle tall, bortsett fra 0, så finnes et annet tall som multiplisert sammen med dette tallet gir akkurat 1. Dette tallet skrives $\frac{1}{tallet}$ og kalles den multiplikative inversen. Inversen til 2 er $\frac{1}{2}$ og inversen til $\pi$ er $\frac{1}{\pi }$. Dette gir oss alle brøker. For et hvert rasjonalt tall x er $\frac{1}{x}$ også et rasjonalt tall, og tilsvarende dersom x er et reellt tall. Til og med en brøk delt på en brøk blir ikke noe annet enn en vanlig brøk når vi multipliserer bort smånevnerne. En divisjon 3 : 5 kan vi nå oppfatte som $3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ og vi trenger ikke beskrive divisjon som en egen regneart.

Det aller mest spesielle tallet er likevel 0. Det har ingen invers, $\frac{1}{0}$ finnes ikke, det skulle eventuelt ha vært uendelig, men det er ikke noe tall. Alle andre tall har en invers – med andre ord 0 er vår store helt! - eller antihelt?

Vi nevner også at de to operasjonene addisjon og multiplikasjon til en viss grad henger sammen gjennom det som kalles distributiv lov, dvs. at $(3+5)\cdot 2=3\cdot 2+5\cdot 2$. Dermed dukker for første gang begrepet lov opp. Distributiv lov er en lov som alle tallene må følge (og det gjør de!). Men det er ikke den eneste!

Begge regneartene har noen egenskaper som vi ofte bruker, en er at de er kommutative. Det betyr at vi kan endre rekkefølgen i regnestykkene uten at svaret forandrer seg. Vi har 2 + 3 = 3 + 2 og vi har $5\cdot 3=3\cdot 5$. "Faktorenes orden er likegyldig" sier man ofte om gange-eksempelet. I tillegg til "kommutativ lov" har vi det som kalles "assosiativ lov" dvs. 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4, men vi skal ikke gå nærmere inn på den.

De egenskapene vi har sett på til nå kan vi med en fellesbetegnelse kalle algebraiske egenskaper. I tillegg til de algebraiske egenskapene har de reelle tall "ordningsegenskaper". Det er nemlig slik at de reelle tall ligger langs tallinja, og det har mening å snakke om at et tall er større enn et annet. Uansett hvilke to forskjellige tall vi velger så er det ene tallet helt sikkert større enn det andre. Dette er ikke opplagt, det er fullt mulig å lage tallsystemer hvor dette ikke gjelder, for eksempel komplekse tall. Men det beste med ordningsstrukturen er at den passer sammen med den algebraiske strukturen. Hvis vi starter med et tall og legger til et hvilket som helst positivt tall så får vi noe som er større enn det vi startet med!

Den siste egenskapen til de reelle tall er det som kalles kompletthet. En tallinje har ingen hull! Alle punkter på tallinja tilsvarer et reelt tall, og alle reelle tall har sin plass på tallinja. Vi kunne ha kalt denne egenskapen for de reelle talls geometriske egenskap. Faktisk er dette den eneste egenskapen som skiller de reelle tall fra de rasjonale. Det er en overkommelig jobb å sjekke at de rasjonale tallene har alle de samme algebraiske egenskapene og ordningsegenskapene som de reelle tallene, men altså ikke den geometriske egenskapen. De rasjonale tall har masse hull, selv om de ligger helt tett. Det kan høres ut som et paradoks, men er ikke det. Vi har brukt tallet π tidligere. Dette tallet er et reelt tall og har derfor sin plass på tallinja, men det er ikke noe rasjonalt tall. Sånn sett kan vi betrakte π som et hull i den rasjonale linja.

De andre tallsystemene vi har sett på, nemlig de naturlige tall og de hele tall skiller seg også fra reelle og rasjonale tall på sine egenskaper. De naturlige tall mangler blant annet inverser for addisjon og de hele tall mangler inverser for multiplikasjon.

Nå kan vi drive litt matematisk gymnastikk. I stedet for å starte med tallene og undersøke alle deres egenskaper, så starter vi heller med egenskapene og ser hva slags tall vi får. La oss først slå fast en ting, uten å gå nærmere inn på begrunnelsen: Hvis vi tar med alle de egenskapene vi har listet opp får vi nødvendigvis de reelle tall. Men vi kunne tenke oss at vi tok bort noen egenskaper og så hva vi fikk da. Generelt vil det være slik at for hvert krav vi tar bort, så får vi flere muligheter. Sånn sett er egenskapene å betrakte som begrensninger. Tenk bare på det at dersom vi ikke krevde noen egenskaper for at noe skulle kalles tall, så ville absolutt alt vært tall!

Vi kan se på et eksempel som ikke er helt vanlige tall. Vi gjør som de gjør i datamaskiner og holder oss til tallene 0 og 1. Vi har to regneoperasjoner

Tabell 1: Addisjon i datamaskiner.

Tabell 2: Multiplikasjon i datamaskiner.

Av tabellene ser vi at begge disse operasjonene har alle de algebraiske egenskapene vi trenger (oppgave: sjekk at dette stemmer). Det eneste merkelige er at 1 + 1 = 0, dvs at -1 = 1. Dette er nokså annerledes enn vi er vant til, men det fungerer helt fint. Det vi derimot ikke har er en ordning. Vi kunne ha sagt at 0 skulle være mindre enn 1, men da blir det galt at 1 + 1 = 0, fordi det blir helt galt at når noe blir enda større så blir det mindre. Og noen geometrisk egenskap har vi ikke i dette eksemplet.

De 11 lovene for reelle tall

1. Addisjonslov: Summen av to reelle tall er et reelt tall.
2. Multiplikasjonslov: Produktet av to reelle tall er et reelt tall.
3. Kommutativ lov: 2 + 3 = 3 + 2 og $4\cdot 5=5\cdot 4$.
4. Assosiativ lov: 2 + ( 3 + 4 ) = ( 2 + 3 ) + 4.
5. Distributiv lov: $2\cdot (3+5)=2\cdot 3+2\cdot 5$.
6. Null-loven: Det finnes et reelt tall 0 som ikke endrer noe når vi legger det til.
7. Subtraksjonslov: Alle reelle tall har additiv invers, -2, -7, -π osv. slik at 2 + (-2) = 0.
8. Enhetsloven: Det finnes et reelt tall 1 som ikke endrer noe når vi ganger med det.
9. Divisjonslov: Alle tall bortsett fra 0 har en multiplikativ invers, $\frac{1}{3}\cdot 3=1$.
10. Ordningsloven: De reelle tallene er ordnet, av to forskjellige tall er alltid ett størst og hvis vi legger til et positivt tall får vi et tall med større verdi.
11. Kompletthetsloven: De reelle tall er en komplett mengde, dvs. de dekker hele tallinja.