Shannons sjongleringsteorem

Den enkle formelen Shannon laget har fått navnet Shannons sjongleringsteorem, og ser slik ut:

$(L+D)H=(T+D)N$

Her er L tiden en ball er i lufta, D er tiden en ball tilbringer i hånda før den kastes igjen, T er tiden en hånd er tom, N er antall baller, og H er antall hender.

La oss se hvorfor formelen over er riktig. Ideen er å finne to uttrykk for hvor lang tid det tar å fullføre én runde av sjongleringen. (En runde er fullført når alle ballene er tilbake til utgangspunktet.)

Hvis vi starter med en bestemt ball, skal den innom H hender i løpet av en runde. Tiden mellom hver gang ballen blir kastet er L + D, så hele runden tar tiden (L + D)H. Sett fra en av hendene, er det N baller som skal kastes og tas imot i løpet av en runde. Tidsbruket for hver ball er T + D, altså tar hele runden tiden (T + D)N. Nå har vi funnet to uttrykk for rundetiden. Disse må være like, og dermed har vi bevist Shannons teorem.

Forholdstallet

$h=\frac{D}{T+D}$

kalles hvileraten til sjongleringen. Hvileraten ligger alltid mellom 0 og 1, og angir hvor stor andel av tiden en hånd er full. Nybegynnere har en tendens til å ha en hvilerate på nesten 1, det vil si at man holder lenge på hver ball. Når man etter hvert får mer flyt i sjongleringen, går hvileraten som regel ned til et sted mellom ½ og ¾. Et morsomt (men vanskelig) triks er å sjonglere med veldig lav hvilerate. Da ser det ut som om man sjonglerer med glovarme poteter - etter hvert mottak kaster man opp igjen så fort man kan.

Med utgangspunkt i Shannons formel kan man undersøke mange interessante aspekter ved sjonglering. Et eksempel er høyden på kastene. Som vi observerte over, er tiden mellom kastene fra en bestemt hånd T + D. Dette betyr at ved vanlig tohånds sjonglering, er tiden mellom hvert "slag", dvs. mellom hver gang en av hendene utfører et kast, lik

$\frac{1}{2}(T+D)$

La oss kalle dette tallet for R. I praksis er det lett å måle R - hvis du for eksempel finner ut hvor mange kast du gjør i sekundet, er R lik 1 delt på dette antallet. Dersom vi løser Shannons formel med hensyn på L, og bruker størrelsene h og R, får vi at

$L=R(N-2h)$

Dette er altså tiden hver ball er i lufta. Fra fysikken vet vi at hvis et objekt kastes rett opp, og når sitt høyeste punkt etter t sekunder, så er kastets høyde s gitt ved formelen

$s=\frac{1}{2}g{t}^2$

, der $g=9,8m/s^2$ er tyngdens akselerasjon på jorda. For et sjongleringskast er t = ½L, så dersom vi kjenner N, h og R, kan vi enkelt regne ut hvor høye kastene blir. La oss for eksempel anta at en sjonglør sjonglerer tre baller med tre kast i sekundet ($R=\frac{1}{3}$ ), og med hvilerate h=0,7. Hvis han skal sjonglere 6 baller med samme tempo og hvilerate, gir formelen over at kasthøyden må være

$s=\frac{1}{2}g(\frac{1}{2}L{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 9,8\cdot (\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(6-1,4){)}^2\approx 2,9meter$

Slike høye kast er vanskelige å kontrollere for de fleste. Det vil nok være fornuftig i dette tilfellet å øke tempoet noe, for eksempel til 3,5 kast i sekundet. Kasthøyden blir da ca. 2,1 meter.