www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Trigonometriske likninger

I denne seksjonen skal vi se på trigonometriske likninger, altså likninger som involverer

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometriske funksjoner
. Fra nå av kommer vi til å bruke

Radianer

Radianer

Det absolutte vinkelmålet til vinkelen u er tallet br der b er buelengden og r er radien. Legg merke til at siden både b og r er lengder, vil lengdebenevningene forkortes mot hverandre i brøken br, slik at det absolutte vinkelmålet blir et ubenevnt tall. Likevel sier vi ofte at u er målt i radianer.

I en sirkel med radius r er omkretsen lik 2πr. Det er derfor naturlig å si at en runde i sirkelen tilsvarer 2π radier eller 2π radianer.

radianer
, og det er en fordel å være komfortabel med dette før du leser videre. Ta gjerne en titt på lynkurset Radianer.

 

Eksempel 1

Vi løser likingen 2sinx+2=1. Om vi trekker fra 2 og dividerer med 2, får vi sinx=12. Taster vi inn sin1(12) på kalkulatoren, får vi x=π6. Speiler vi denne vinkelen om y-aksen, får vi x=π+π6=5π6. I tillegg vil alle omløp av disse vinklene være løsninger, så den generelle løsningen er x=π6+2πn og x=5π6+2πn for alle heltall n. Det er vanlig å skrive løsningen slik at de første tallene er i intervallet [0,2π] (første omløp): x=11π6+2πn og x=7π6+2πn.

 

Eksempel 2

Vi løser likningen 2cosx+1=0. Da er cosx=12, og taster vi inn på kalkulatoren cos1(12), får vi løsningen x=3π4. Speilingen om x-aksen har samme cosinusverdi, så 2π3π4=5π4 er også en løsning. I tillegg kommer alle omløp av disse til å være løsninger, så den generelle løsningen er x=3π4+2πn og x=5π4+2πn for alle heltall n.

 

Eksempel 3

Vi løser likningen 2tanx=1. Da er tanx=12, så vi får løsningen x0,46. Husk at tanx=sinxcosx. Om vi roterer vinkelen 90, altså π radianer, vil forholdet mellom første og andre-koordinatet på enhetssirkelen forbli det samme. Dermed er tanx=tan(x+πn) for alle heltall n og den generelle løsningen er x=0,46+πn for alle heltall n.

 

Eksempel 4

Vi løser likningen cos2(x)73cosx+23=0. Setter vi u=cosx, får andregradslikningen u273u+23=0. Denne har løsninger u=2 og u=13 slik at cosx=13 eller cosx=2. Vi vet at cosinus kun gir verdier i det lukkede intervallet [1,1], så vi kan ignorere den andre løsningen. Da står vi igjen med cosx=13. Bruker vi cos1 på kalkulatoren, får vi x1,23. Speiling om x-aksen gir løsningen x=2π1,235,05. I tillegg vil alle omløp av disse være løsninger. Da får vi den generelle løsningen x=1,23+2πn og x=5,05+2πn.

 

Eksempel 5

Et bioteknologisk selskap skal gå til innkjøp av nytt utstyr. Fordi prisen på utstyret varierer svært mye med tiden, setter de opp en modell med at prisen på utstyret etter t år kommer til å være p(t)=3cost+4 hvor p er pris i millioner. Selskapet vil kjøpe utstyret så billig og så fort som mulig. Når skal de gå til utstyrsinnkjøp?

Vi vet at den minste verdien til cost er 1. Dermed er den minste verdien til 3cost lik 3. Den laveste prisen til produktet er derfor en million (3cost+4 ikke kan bli mindre enn 1). For å finne ut når denne prisen inntreffer, må vi løse likningen 3cost+4=1 for tiden t.

Vi skriver dette om til cost=1, som gir løsningen t=π+2πn for alle heltall n. Den minste positive verdien for t får vi ved å se på n=0, altså når t=π3,14.

Svaret er at ifølge deres modell tar det litt over 3 år før selskapet bør gå til innkjøp av utstyret.

Publisert: 06.07.2016 Endret: 11.07.2016