www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Deriverbarhet

Definisjon

Vi sier at en funksjon fx er deriverbar i et punkt a, hvis grensen under finnes:

f'x=limh0fa+h-fah

Men når er det denne grensen ikke finnes? I denne seksjonen skal vi se på når den deriverte finnes, og vise noen eksempler.

Definisjon. Grenser ovenfra og nedenfra

Vi skriver

limxa+f'x

for grensen til f'x når x går mot a ovenfra, og

limxa-f'x

for grensen til f'x når x går mot a nedenfra.

Teorem. Deriverbarhet

En funksjon fx er deriverbar i et punkt a hvis

    1. Funksjonen er 

      Kontinuerlig funksjon

      En kontinuerlig funksjon er en funksjon uten "hopp" – for en funksjon man kan tegne vil det si at den kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.

      kontinuerlig
      i x=a,
    2. limxa-f'x=limxa+f'x.

Eksempel 1 – en funksjon som er deriverbar på hele tallinja.

La oss se på fx=x2 i et punkt tilfeldig punkt a:

f'a=limh0fa+h+fah

 =limh0a+h2-a2h=limh02ah+h2h

 =limh02ahh+h2h=limh02a+h=2a

Vi ser at grensen finnes, og dermed er funksjonen deriverbar i a. Siden a kan være hvilket tall som helst, er fx deriverbar for alle a.

Eksempel 2 – en funksjon med et ikke-deriverbart punkt:

I eksempelet under ser vi en funksjon med en «knekk». Hva skjer med den deriverte i dette punktet? Vi husker at den deriverte er lik stigningstallet på tangenten til kurven. I dette tilfellet ser vi at vi får vanskeligheter med å avgjøre hva tangenten er i punktet a, vi får rett og slett forskjellige tangenter avhengig av hvilken side vi kommer fra.

 

 

La oss se hva som skjer med funksjonen:

fx= x2+xfor  x<1x+1for  x1

Hvis vi deriverer hver av sidene, ser vi at vi får at den deriverte er x2+x'=2x+1 for x mindre enn 1, og x+1'=1 når x er større enn 1, men hva skjer i 1?

Vi ser på definisjonen av den deriverte og ser hva som skjer hvis vi tar grensen ovenfra og nedenfra, altså at vi lar h gå mot null henholdsvis fra minussiden og plussiden. Husk definisjonen av den deriverte i et punkt a: f'a=limh0fa+h-fah

Fra plussiden:

limh0+f1+h-f1h=limh0+1+h+1-1+1h=1

Vi ser at det her er x+1 som kommer i spill fordi 1+h er større enn 1.

Fra minussiden:

limh0-f1+h-f1h=limh0-1+h2+1+h-12-1h=limh0-2h+h2+hh=3

Vi ser at her kommer x2+x i spill fordi 1+h er mindre enn 1 (h er negativ.)

Som vi så på illustrasjonen får vi to forskjellige deriverte avhengig av hvilken side vi ser på. Da sier vi at grensen

limh0f1+h-f1h

ikke eksisterer, og funksjonen er ikke deriverbar.

Eksempel 3 – en funksjon med et ikke-deriverbart punkt:

Under ser vi et eksempel på en funksjon fx som har et diskontinuerlig punkt; et punkt der den ikke henger sammen. Vi ser at i x=1 gjør den et hopp. Å finne stigningen i x=1, gir ikke mening, og vi vet at fx ikke er deriverbar i 1.

 

Publisert: 19.01.2014 Endret: 08.12.2014