www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Mer kompliserte likninger

Når vi støter på trigonometriske likninger som er kompliserte, er strategien å redusere disse til en av grunnlikningene. La oss se på de vanligste teknikkene for å løse mer kompliserte trigonometriske likningene.

De trigonometriske grunnlikningene

La a være et reelt tall.

Løsningene av sinx=a er på formen x=x0+k2πx=π-x0+k2π

der k.

Likningen cosx=a har løsningene x=x0+k2πx=-x0+k2π

der k.

Likningen tanx=a har løsningene x=x0+kπ, der k.

I løsningsformlene over er x0 en vilkårlig løsning av likningen. En slik kan man finne ved for eksempel å bruke kalkulator eller en

Eksakte verdier

Eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens:

u   0 π6  π4   π3    π2 π   2π
sinu   0  12  122 123  1   0  0
cosu   1  123   122  12 0   -1  1
tanu   0 123    1  3 

ikke

def.

0  0 
tabell over eksakte verdier
.

 

Omskriving til tangens

Følgende likninger kan løses ved omskriving til tangens:

i)asinx+bcosx=0 
ii)asin2x+nsinxcosx+ccos2x=0


I den første dividerer vi med cosx på begge sider, og får atanx+b=0. Dette gir grunnlikningen tanx=ba.

I den andre dividerer vi med cos2x og får en annengradslikning i tangens: atan2x+btanx+c=0 Denne løser vi med abc-formelen på vanlig måte. Hver av løsningene av annengradslikningen gir til slutt en grunnlikning i tangens.



Bruk av enhetsformelen før omskriving til tangens

Metoden over fungerer ikke uten videre dersom likningene har et tall forskjellig fra null på høyre side. Men i tilfelle ii) er det lett å kvitte seg med slike konstantledd. For å løse a sin2x+b sin x cos x+c cos2x=d, bruker vi bare yndlingsformelen sin2x+cos2x=1 til å skrive høyresiden som d=d sin2x+d cos2x. Flytter vi begge de nye leddene over til venstre side, står vi igjen med (ad)sin2x+b sin x  cos x+(cd)cos2x=0.


Dermed er likningen på samme form som ii), og vi kan dividere med cos2x og ende med en annengradslikning i tangens, akkurat som før.

Relasjonen mellom a, b og A, φ  i formelen a sin x+b cos x = A sin(x+φ).

Omskriving til standardform

Tilfelle i) krever litt mer jobb dersom det ikke står 0 på høyre side:

a sin x+b cos x=A  sin (x+φ) .



En fin teknikk er å skrive om venstresiden til standardform, som vi skal studere nærmere i neste seksjon. Dette går ut på å finne konstanter A og φ slik at

a sin x+b cos x=A  sin(x+φ)


Den opprinnelige likningen blir dermed redusert til Asin (x+φ)=c, som kan løses som en grunnlikning. Hvis du blir forvirret av at argumentet til sinus er x+φ i stedet for bare x, kan du godt sette u=x+φ og løse med hensyn på u først. For eksempler se artikkelen Omskriving til standardform.

 
Annengradslikning i sinus eller cosinus

Hvis likningen inneholder sin2x og/eller cos2x, men ikke blandingsledd av typen sinxcosx, er ideen som regel å lage en annengradslikning i enten sinx eller cosx. Nok en gang kan enhetsformelen være nyttig.

For eksempel, i likningen

2sin2x+3cosx=4


skriver vi sin2x=1cos2x og får

 2(1cos2x)+3cosx=4 .



Etter litt opprydding gir dette annengradslikningen

2cos2x3 cos x+2=0,

som vi løser ved abc-formelen. Resultatet blir de to grunnlikningene cosx=12 og cosx=1.

Publisert: 10.08.2013 Endret: 11.07.2016