www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Omskriving til standardform

La oss se på en generell metode for omskriving av en funksjon på formen f(x)=asinkx+bcoskx til f(x)=±a2+b2sin(x+θ)

TEOREM

sin(u+v)=sinucosv+cosusinv.

Vi skriver forenklingen vi skal vise som en sats:

setning

Alle funksjoner f(x)=asinkx+bcoskx kan skrives på formen f(x)=±a2+b2sin(x+θ) for en unik θ i intervallet [0,π2]. Fortegnet er positivt om a er positiv, og negativt om a er negativ. Vinkelen θ er slik at cosθ=|a|a2+b2.

 

En anvendelse av forenklingen ovenfor er at en likning asinkx+bcoskx=C for en konstant C nå kan løses ved å gjøre venstresiden om til et sinusuttrykk, som igjen kan løses med vanlige metoder. Vi regner et konkret eksempel.

Eksempel 1

Finn alle løsninger av likningen sinx+cosx=1.

Ved å bruke setningen over, kan vi skrive venstresiden om til 2sin(x+θ) for en vinkel θ. Da er cosθ=12 og den unike vinkelen mellom 0 og π2 er π4. Venstresiden kan skrives som 2sin(x+π4), slik at likningen ser ut som 2sin(x+π4)=1. Da er sin(x+π4)=12 slik at x+π4=π4. Symmetrien om y-aksen gir i tillegg løsningen x+π4=3π4. Vi legger til alle omløp og trekker fra π4, slik at x=2πn og x=π2+2πn.

For å sette svaret på prøve, kan vi bruke formelen for sinus av summen av to vinkler: 2sin(x+π4)=2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)=sinx+cosx.

 

Eksempel 2

Finn alle løsninger av likningen -sinx+3cosx=-3.

Vi begynner med å skrive venstresiden på standardform. På figuren har vi markert punktet a,b=-1,3. Vi ser at A=3+1=2, og at den inntegnede trekanten er en 30-60-90-trekant som du kan lese mer om i artikkelen Trekant. Spesielt er u=60, og derfor er φ=180-u=120=2π3. Vi kan dermed skrive

-sinx+3cosx=2sinx+2π3 Vår opprinnelige likning blir dermed redusert til 2sinx+2π3=-3, eller sinu=123 , der u=x+2π3.

Eksakte verdier

Eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens:

u   0 π6  π4   π3    π2 π   2π
sinu   0  12  122 123  1   0  0
cosu   1  123   122  12 0   -1  1
tanu   0 123    1  3 

ikke

def.

0  0 
Tabellen over eksakte verdier
, og et raskt blikk på enhetssirkelen, viser at sin-π3=-123 . Det betyr at u=-π3 er en løsning i likningen over. Da vet vi at alle løsningene er på formen 

u=-π3+k2πu=π--π3+k2π

der k.

Til slutt må vi sette tilbake u=x+2π3 og løse med hensyn på x:

x+2π3=-π3+k2πx=-π+k2πx+2π3=π--π3+k2πx=2π3+k2π


Når k varierer i , gir dette alle løsningene til den opprinnelige likningen.

Selv om de enkelte stegene i løsningen over ikke er vanskelige, er det utfordrende for mange å holde helt til mål i slike oppgaver uten å gjøre slurvefeil. Da er det viktig med oversiktlig føring.

Publisert: 06.07.2016 Endret: 11.07.2016