www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Integrerende faktor

En første ordens lineær differensiallikning er på formen dydx+f(x)y=g(x) Ordet «lineær» henspiller kun på y-variabelen, og det betyr at det ikke forekommer y2- ledd, sinyeller liknende. Derimot er det ingen begrensninger på funksjonene fx og gx, de kan være hva som helst. 

Definisjon

La dydx+f(x)y=g(x) være en første ordens lineære differensiallikning og la p(x)=f(x)dx.

Da er uttrykket ep(x) en integrerende faktor for likningen.

Eksempel 1

Vi løser likningen y+(2x+1)y=ex2. Vi ser raskt at likningen ikke er separabel, da vi ikke kan separere variablene til hver sin side av likhetstegnet. Men vi kan angripe likningen ved å utføre et triks: Vi multipliserer på begge sider av likningen med ex2+x Etter multiplikasjonen ser slik ut: yex2+x+(2x+1)yex2+x=ex2ex2+x.

Dersom vi stirrer lenge nok på venstresiden, ser vi mirakelet: Det som står der, er den deriverte av én enkelt funksjon, nemlig yex2+x. Kontroller selv at den deriverte av denne (bruk produktregelen og kjerneregelen) er nøyaktig lik venstresiden i eksempelet over. Høyresiden kan også forenkles litt, så alt i alt har vi at [yex2+x]=ex.

Vi integrerer begge sider (uten å glemme konstanten C!) og får yex2+x=ex+C.

Til slutt er det nå en smal sak å løse med hensyn på y. Vi dividerer med ex2+x og finner at den generelle løsningen er y=ex+Cex2+x=1ex2+Cex2+x.

Integrerende faktor hjelper oss å løse en første ordens lineær differensiallikning ved at vi multipliserer begge sider av likningen med denne og deretter integrerer. For første ordens lineære differensiallikninger finnes det alltid en integrerende faktor.

teorem

La likningen dydx+f(x)y=g(x) være gitt. La ep(x) være en integrerende faktor. Da er y(x)=ep(x)ep(x)g(x)dx.

Bevis

Vi ser på uttrykket ep(x)y(x). Om vi deriverer med hensyn til x gir produktregelen ddx(ep(x)y(x))=ddx(ep(x))y(x)+ep(x)dydx. Kjerneregelen forteller oss at ddxep(x)=dpdxep(x). Dermed er ddx(ep(x)y(x))=dpdxep(x)y(x)+ep(x)dydx. Vi kan trekke ut ep(x): II   ep(x)(dpdxy(x)+dydx). Husk at p(x)=f(x)dx per definisjon, og dermed er dpdx=f(x), så uttrykk (II) kan skrives som ep(x)(f(x)y(x)+dydx) I likningen gitt i satsen kan vi trekke fra f(x)y på begge sider for å få dydx=g(x)f(x)y. Om vi setter dette inn for dydx får vi ep(x)(f(x)y(x)+g(x)f(x)y(x))=ep(x)g(x). Vi konkluderer med at dydx(ep(x)y(x))=ep(x)g(x). Om vi integrerer begge sider får vi ep(x)y(x)=ep(x)g(x)dx. Resultatet følger av multiplikasjon med ep(x): y(x)=ep(x)ep(x)g(x)dx.

Når vi regner med integrerende faktor, er det vanlig å ignorere integrasjonskonstanten i integralet p(x)=f(x)dx. Vi kan gjøre dette da konstanten er vilkårlig, og vil allikevel settes sammen med integrasjonskonstanten til integralet ep(x)g(x)dx. Dermed er det like greit å bare se på konstanten som kommer fra dette integralet. Om dette er forvirrende anbefaler vi å regne eksempelet nedenfor hvor du tar med integrasjonskonstanten i begge integralene, for deretter å sjekke at svaret ditt blir det samme for en vilkårlig konstant C.

Eksempel 2

Vi løser likningen dydx+2y=e3x. Med notasjonen ovenfor er f(x)=2 og g(x)=e3x. Vi har at p(x)=2dx=2x. Det følger dermed av teoremet at y(x)=e2xe2xe3xdx=e2xe5xdx=e2x(15e5x+C)=15e3x+Ce2x.

 

Eksempel 3

En arbeider tjener 300 000 kroner i året. Han regner med å ha en lønnsvekst på 1.5 prosent årlig, og ønsker å finne ut hvor mye han vil tjene om femten år.
Vi kan sette dette opp som en differensiallikning dydx=0,015y hvor y=y(x) er lønnen til arbeideren etter x år. Vi kan skrive dette som dydx0,015y=0 og vi har dermed en homogen likning. Om f(x)=0,015 og g(x)=0 har vi ved Sats 1 at y(x)=e0,015xe0,015x0dx=Ce0,015x for en konstant C. Initialverdien vår gir at y(0)=C=3105. Dermed har vi løsningen y(x)=3105e0,015x. Setter vi inn x=15 har vi at lønnen er omtrent 375000 kroner om femten år.

 

Merk. Hvis g(x) er konstant null i en første ordens lineær differensiallikning, vil likningen være separabel og kunne skrives om til dydx=f(x)y. Denne typen likninger kaller vi homogene separable likninger. Og likningen er ikke  homogen hvis g(x) ikke er konstant null.

Publisert: 18.07.2016 Endret: 12.08.2016