Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org
Målgruppe:
Vg2T

Hvor høy er Mjøsa?

En praktisk tilnærming til trigonometri: Hva er høyden på Mjøsas bue?

Lærerens instruksjoner

Lærerveiledning:

Dette undervisningsopplegget kan gjennomføres individuelt eller i grupper. Jordkrumningen gjør at det ikke er mulig å se på langs av Mjøsa fra Minnesund til Lillehammer. Vi kan prate om en “høydeforskjell”. 

 

Start timen med å diskutere dette fenomenet med elevene. Lag en skisse på tavla som viser klart og tydelig hvilket problem vi står overfor. Tenk dere at vi spenner en wire fra Minnesund til Lillehammer - hvor langt ned fra overflaten vil du finne igjen wiren, eventuelt hvor langt over finner du overflaten på Mjøsa?

For spenningens skyld kan det være gøy å la elevene registrere elevenes tips over hvor stor høydeforskjellen er før de begynner å arbeide.

Dette problemet er helt analogt til Danmarksproblemet, se under "Samme emne behandles også i".

Problemet kan formuleres slik: Jordas krumning gir en ”høydeforskjell” på Mjøsas overflate sett i nord-sør retningen, se skissen. Finn denne ”høydeforskjellen”.

For å løse dette problemet trenger ikke elevene kunne trigonometri, selv om dette løsningsforslaget baserer seg på det. Det er fullt mulig å få dette til med enkel forholdsregning.

Det er sannsynlig at elevene kommer med mange forskjellige løsninger. Selv om svarene kan bli svært forskjellige, trenger ikke det å bety at noen har regnet feil. Læreren bør sammen med elevene oppsummere forslagene og peke på forskjellene.

Noen av forskjellene vil ha sin årsak i ulike kilder (jordradius, jordomkrets, breddegrader), mens andre ulikheter kan skyldes forskjellig mengde gjeldene siffer i tallene som benyttes.

Løsningsforslag:

Forutsetninger for regnestykket:

Mjøsa er 117 km lang fra Lillehammer til Minnesund. I luftlinje er Mjøsa 89,7 km.

R = midlere jordradius = 6378,395 km
a er den vinkelen som Mjøsa’s lengde tilsvarer (se figur) og b er halvparten av a.

Dvs. 

a = Lengde/Jordomkrets  360º = 89,7km2π6378,395360o=0,805756216o
Da er  b=0,402878108º 
 
Utregning:

 


Den fargete trekanten er en rettvinklet trekant der hypotenusen er R og den lengste kateten er x. Ved å bruke cosinus-funksjonen for den rettvinklete trekanten, kan vi bestemme lengden til linjestykket x. I tillegg ser vi at h=R-x.

 h=Rx
=6378,395km(cos(b)R)
=6378,395(0,99997527886378,395km)
=6378,395km6378,237km
=0,158km

Høydeforskjellen er 158 meter. Det bør presiseres at med denne utregningsmåten vil resultatet raskt endres ved en justering av gradtallet b. La elevene selv forsøke å endre på noen av desimalene. Hvor små endringer vil påvirke resultatet uakseptabelt mye?

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk 2T og 2P

  • Etter 2T
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2T-Y
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    grupper på 3 - 4 elever

  • Utstyr

    kalkulator, leksikon

  • Tidsbruk

    1 dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    avslutningsaktivitet

Skrevet av

Martin Carlsen

Institusjon

Universitetet i Agder

Tilsvarende emner behandles også i

Hopp over bunnteksten