To bevis
Hvorfor ikke ta utgangspunkt i en vanlig misoppfatning som oppstår når elever lærer å skrive formelle bevis? La elevene sette sammen flere bevis og diskuter forskjeller mellom disse.
Lærerens instruksjoner
Dette opplegget tar utgangspunkt i en vanlig misoppfatning som kan oppstå når elever lærer å skrive formelle bevis. Elever har ofte problemer med å lese algebraiske uttrykk og tolke meningen.
Kortene i vedlegget er laget ved at vi har klippet ut én og én linje fra to bevis og så satt disse i tilfeldig rekkefølge. Dette kan gjøres for mange andre temaer (f.eks. gjennomgang av drøfting for en funksjon).
Introduksjon
Gi mål for timen som er å forstå bruk av variabler i bevis. Bruk gjerne et bevis som elevene allerede har sett, og vis dem at beviset kan klippes opp linje for linje som i sin tur brukes som kort. Denne introduksjonen er viktig, fordi kortaktiviteter vanligvis handler om å parvis finne kort som hører sammen og det er ikke tilfelle her.
Gruppearbeid
Elevene deles i grupper på 2 til 4 elever der hver gruppe får sitt kortsett (se høyrespalten under Vedlegg). Elevene skal så selv klippe ut kortene og på denne måten få oversikt over alle kortene før de begynner å rekonstruere bevisene. Gi elevene beskjed at det stemmer at det skal være to blanke kort. Disse skal etter hvert fylles ut av elevene.
Elever skal komme til følgende to bevis:
Bevis 1 |
Bevis 2 |
|
Hvis er oddetall, så er |
||
for et heltall |
for et heltall |
|
og for et heltall . |
og for et heltall |
|
for et heltall . |
for et heltall . |
|
Så er et oddetall. |
Elever skal se at det mangler et kort i begynnelsen og slutten av bevis to (til høyre). Det er viktig at elever får tid til å tenke over, og diskutere hva det er som vises i bevis to, og hva som skal stå på de to tomme kortene.
Hjelpespørsmål som kan stilles til elevene er å finne forskjellen mellom de to bevisene.
Elever som er tidlig ferdig kan få utfordringen til å skrive bevis to på en enklere måte.
Oppsummering
Her er det viktig å gå gjennom forskjellen mellom bevis 1 og bevis 2. Siden vi kan velge som variabel for både og i bevis 2, blir og like og da viser vi på en (noe komplisert) måte at hvis er et oddetall, så er et oddetall. Vis at dette ikke er tilfelle i bevis 1 når variabel velges for , og for .
En fin avslutning er å bevise på en enklere måte at hvis er et oddetall, så er et oddetall:
Hvis er et oddetall så er for et heltall .
Da blir .
Dette kan skrives som .
Det vil si at for et heltall .
Så er et oddetall.
Aktuelle kompetansemål i læreplanen (LK06)
Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram
- Matematikk R1
- Algebra
- gjøre rede for implikasjon og ekvivalens, og gjennomføre direkte og kontrapositive bevis
- Algebra
Når, hvor og hvordan
-
Klassesituasjon
Grupper på 2 til 4.
-
Utstyr
kortsett, saks
-
Tidsbruk
30 minutter til 1 time
-
Valg av tidspunkt
Innføring av formell bevis