Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Løsning av andregradslikning

Som oftest brukes abc-formelen til å løse andregradslikninger, altså likninger som inneholder leddet x2. Finnes det andre måte å løse andregradslikninger? Og forresten hvorfor kan abc-formelen brukes alltid?

en andregradslikning

En andregradslikning på denne generelle formen ser ut som

ax2+bx+c=0

Legg merke til at likningen er en førstegradslikning hvis a=0.

 

Utledning av abc-formelen 

Når en andregradslikning er på den generelle formen, bruker vi abc-formelen for å løse denne. Men abc-formelen er ikke en magisk regel som gir oss et svar. abc-formelen kan bli utledet og det er det vi skal gjøre. Ved å bruke kvadratsetningene på en smart måte kan vi komme fram til en liten formel som kan løse andregradslikninger.

Divider med a begge sider av likningen:

ax2+bx+c=0  

ax2a+bxa+ca=0

ax2+bxa+ca=0


Nå ordner vi likningen slik at vi kan bruke første kvadratsetning. Trekk ca fra begge sider av likningen. Likningen ser ut som

x2+bax=ca

Ta en titt på første kvadratsetning på formen

x2+2tx+t2=(x+t)2

Tenk på ba som 2t eller t=b2a. Legger vi til leddet t2=b24a2 på begge sider i likningen, er venstresiden et fullstendig kvadrat:

x2+2b2ax+b24a2=b24a2ca

Uttrykket til venstre for likhetstegnet skrives om til

x2+2b2ax+b24a2=(x+b2a)2      

Uttrykket til høyre for likhetstegnet settes på en felles brøkstrek,

b24a2ca=b24ac4a2 

Hele likningen ser nå ut som

(x+b2a)2=b24ac4a2

Vi tar kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:
 
x=b2a±b24ac4a2=±b24ac2a      

Merk at vi må ta med både det positive og negative uttrykket og derfor står det pluss-minus like etter det siste likhetstegnet. Trekk b2a fra begge sider av likningen, og vi er i mål:

x=b2a±b24ac2a=b±b24ac2a

Vi har altså funnet at x kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:


x=b±b24ac2a

Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har likningen ingen reelle tall som løsning.

formelen for løsning av andregradslikninger

 abc-formelen ser ut følgende uttrykk

x=b±b24ac2a

 

Eksempel

Nå skal vi først bruke metoden i utledningen, for deretter å bruke abc-formelen direkte.

Vi skal løse likningen 2x2+5x3=0.

Likningen skrives om til

x2+52x=32

Legg til halvparten av 52 opphøyd i annen potens på begge sider av likningen. Dette gir oss et fullstendig kvadrat på venstresiden:

x2+254x+(54)2=32+(54)2

Vi skriver det om til

(x+54)2=24+2516

Vi tar kvadratroten på begge siden av likningen:

x+54=±4916=±74

Dette gir to løsninger

x=54+74=12 

 x=5474=3 

Likningen har altså to løsninger: x lik en halv og x lik -3.

 

Finne løsning ved å bruke abc-formelen

Nå så vi hvordan vi kan finne løsningen ved å bruke samme metode for utledningen av abc-formelen. Men siden vi allerede har abc-formelen, la oss bruke denne.

Andregradslikningen vår er på formen ax2+bx+c=0 der a=2,b=5 og c=3. Vi setter inn for a, b og c i formelen x=b±b24ac2a:

 x=5±5242(3)22=5±25+244=5±494=5±74 

Vi får også her to løsninger:

x=5+74=12

x=574=3


Vi har altså to metoder, og vi står fritt til å velge hvilken vi vil bruke når vi skal løse en andregradslikning.

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Faktorisering

    Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

    Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

    Se også primtallsfaktorisering

  • Kvadratrot

    Kvadratrot har symbolet .

    Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi 44=16. Det skrives 16=4.

  • Ligning

    En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

    Eksempel: 2x+8=14

  • Likhetstegn

    Likhetsteget har symbolet =.

    Likhetstegnet forteller at det som står til venstre for likhetstegnet har samme verdi som det som står til høyre.

    Eksempel: 6+4=52