www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Målgruppe:

R2

Cavalieris prinsipp

Hvordan fant de volum før integralregningen kom? I dette opplegget viser vi hvordan Cavalieris prinsipp fungerer.

Lærerens instruksjoner

Bruk teksten "Cavalieris prinsipp" som introduksjon til oppgavene. Illustrer gjerne slik det beskrives i "Eksperimentér" i teksten og bruk dette til å snakke om prinsippet.

La elevene eksperimentere videre ved å la dem gjennomføre oppgavene som er beskrevet i "Elevens oppgaveark".

Som utfordring kan også noen av de følgende oppgavene brukes.

Oppgave 1

Lag en terning av sugerør med ståltråd. Strekk nå tråder fra hvert hjørne til det motsatte hjørne (det hjørnet som er lengst vekke). Trådene møtes i tyngdepunktet, eller midtpunktet, for kuben. Kan du se at midtpunktet sammen med hjørnene i en sideflate danner en pyramide? Hvor stor er pyramidens volum i forhold til hele kuben? Prøv å sannsynliggjøre volumformelen V=GH3 for pyramider. Argumentet fungerer bare for spesielle pyramider. Hvor ligger begrensningene for argumentet?

Oppgave 2

 

Figur til oppgaven.

Se på pyramiden, og finn en formel for volumet, når den trekantede grunnflaten G og høyden h er gitt.

Oppgave 3

 

Figur til oppgaven. Avkortet pyramide med kvadratisk grunnflate.

I en avkuttet kvadratisk pyramide har den kvadratiske grunnflaten sidelengde p og den kvadratiske toppflaten sidelengde q. Høyden mellom bunn- og toppflate er H. Vis at volumet av den avkuttete pyramiden kan beregnes som

 

 V=(p2+pq+q2)H3=(p3q3)H3(pq) 

Oppgave 4

 

Illustrasjon til oppgaven.

I stedet for en hel kule skal vi nå se på en ball der en skalk er skåret vekk. Finn volumet av dette romlegemet avhengig av kulens radius r og høyden H av restkulen regnet fra senteret.

Oppgave 5

Det er naturlig å sammenlikne en paraboloide med en tilsvarende sylinder av samme høyde og samme ”toppflate”. Finn forholdet mellom volumene. Arkimedes oppdaget dette forholdet, noe han var så stolt av at han ville ha det inngravert på sin gravstøtte.

Oppgave 6

I teoridelen beregnet vi volumet av en ring. Vi ser nå på et beslektet problem. En ”firkantet ring” er sveiset sammen av fire like lange rette jernrør med sirkulært tverrsnitt. Bruk Cavalieris prinsipp til å vise at volumet er likt volumet av et rett jernrør med samme dimensjoner som er like langt som senterlinjen i den ”firkantete ringen”.

Oppgave 7

Illustrasjon til oppgaven.

Vi ønsker å beregne volumet i et ringformet romlegeme som kommer fram ved å frese ut et sylinderformet hull i en kule. Sylinderens akse går gjennom kulens senter. Serviettringer kan ofte ha en slik form. Beregn volumet av serviettringen avhengig av kulens radius r og sylinderens høyde H, regnet fra senteret og til topps. Bruk Cavalieris prinsipp og se på et plan som skjærer serviettringen. Sammenlikn snittflaten med den snittflaten en kule med radius H ville hatt med det samme planet.

Vis at alle slike tenkelige ringer med samme høyde på sylinderhullet har samme volum uansett kuleradius.

Oppgave 8

 

Illustrasjon til oppgaven.

Et telt slås opp ved at en setter opp to halvsirkelformete metallbuer som møtes halvveis, der de står loddrett på hverandre. Så trekkes det en duk over konstruksjonen. Duken strammer seg mellom stengene. Finn teltvolumet.

 

 

Sirkel med innskrevet kvadrat.

Hint: Sammenlikn teltet med en ”omskrivende halvkule”. Vis at forholdet mellom snittflatene er konstant. Snittflaten for teltet er et kvadrat, mens den for halvkulen kan tenkes å være den omskrivende sirkelen for kvadratet.

Oppgave 9

Halvkule med tre spiler over, skal forestille en lampeskjerm.

I hobbyforretninger får en kjøpt skjeletter til en lampeskjerm som likner på en halvkule. Tre halvsirkelformete spiler er sveiset til en sirkelformet avslutningsring. Lampen ferdigstilles ved å strekke en lang tråd eller et smalt bånd fra spile til spile rundt og rundt. For hver runde nærmer man seg toppen litt om litt. Finn volumet som den ferdige lampen rommer.

 

 

 

---

I de kommende oppgavene prøver vi å utnytte Cavalieris prinsipp til å beregne flater mellom gitte kurver i et koordinatsystem og x-aksen slik man vanligvis gjør det i integralregningen. På en enkel måte finner vi flaten under en annengradskurve, altså en parabel, og flaten under en tredjegradskurve. For høyere grads kurver må vi bruke litt tyngre skyts, men det lar seg gjøre, det også. Vi ser dermed hvor kraftig verktøy Cavalieris prinsipp er selv om selve prinsippet kun forutsetter en god porsjon matematisk intuisjon.

Oppgave 10

Illustrasjon av funksjonen y lik kvadratet av x.

Vi er interessert i å finne flaten under parabelen y=x2 (grått felt). Det første steget er å gjøre problemet om til en volumoppgave. Vi føyer til en ny koordinatakse i vårt koordinatsystem og gjør flaten vi er interessert i om til et romlegeme. Lengden vi bruker i z-retningen er konstant lik 1. Vis at snittflaten ved x=h da er gitt ved A=h2. Hvilket av de klassiske romlegemene egner seg til sammenlikning? Finn volumet og finn til slutt arealet av den aktuelle flaten.

 

Hint: Som sammenlikningsfigur kan vi ta en pyramide med kvadratisk bunnflate. Høyden er lik med bredden og med lengden. I undersøkelses-landskapet arbeidet vi en del med denne figurtypen. Der så vi at tre slike pyramider kunne settes sammen til en kube, og volumformelen var enkel å forstå. Vi trenger altså ikke generelle resultater om vilkårlige pyramider.

Oppgave 11

I neste omgang vil vi finne flaten som er begrenset av tredjegradskurven y=x3, selve x-aksen og linjen x=H. Igjen lager vi oss en tredimensjonal figur ved å sette på en z-akse og gi figuren samme høyde, nemlig 1, over hele flaten. Nå benytter vi oss av et lite triks. Vi "kløyver" hele legemet ved x=H2 i to deler og roterer delen til høyre 180° om punktet (H2,0). Der "limer" vi delene sammen igjen. Volumets størrelse har opplagt ikke forandret seg. Men det er blitt lettere å beregne. Vis at snittflaten ved x=h kan beregnes som A=h3+(Hh)3. Regn ut uttrykket du har fått for snittarealet og se det i sammenheng med de tre kjente romfigurtypene som vi tar som gitt. Lag en passende sammenlikningsfigur satt sammen av klassiske romlegemer. Finn så volumet til legemet og arealet til utgangsflaten.

 

Tredjegradsfunksjonen y lik x opphøyd i tredje.

 

Hint: Når du har beregnet snittflaten, kan du sammenlikne figuren med en sammensetning av tre legemer:

  • Et prisme med snittflate H3 og høyde H2,
  • en kile med rektangulær toppflate (3H3 ganger H2) og høyde H2,
  • og til slutt en firkantet pyramide med høyde H2 der toppflaten har dimensjonene H2 ganger 3H22.

Kilen skal trekkes fra, mens de to andre figurene skal legges sammen.

Et prisme og to kiler.

Elevens oppgaveark

Les teksten "Cavalieris prinsipp".

Bruk dette til å undersøke videre:

Kopier utklippsfiguren nedenfor tre ganger, og lag rette firkantete pyramider av figurene. Hva kan du si om volumet deres? Prøv å sette dem sammen til en terning. Finn så forholdet mellom terningvolumet og volumet av pyramidene. Prøv å argumentere for volumformelen V=GH3 for pyramider.

 

Utklippsfigur.Utklippsfigur.

 

Argumentet over dekker bare spesielle pyramider. Hvor ligger begrensningen i det?

 

Pyramider deles opp i trekantede pyramider.Pyramider deles opp i trekantede pyramider.

Vi prøver å generalisere det på følgende måte. Alle pyramider som har en mangekant (trekant, firkant, femkant osv.) som grunnflate, kan deles opp i trekantete pyramider.
Vi kan altså nøye oss med å undersøke volumet av trekantete pyramider. Gjelder formelen der, vil den automatisk gjelde for mange andre pyramider også.

 

Vi begynner med et rett, trekantet prisme. Vi deler det opp etter følgende mønster:

  • Først deler vi etter de angitte tykke linjene. Vi får en trekantet rett pyramide med samme grunnflate G og høyde H som prismet, og et restlegeme som faktisk er en firkantet pyramide.
  • Restlegemet deles i to etter de angitte strekene, altså diagonalen av den rektangulære sideflaten og to av sidekantene. Vi får to trekantete pyramider. Den ene har igjen samme grunnflate G og samme høyde H som det opprinnelige prismet.

 

Bruk Cavalieris prinsipp til å vise at alle de tre pyramidene har samme volum.

Vis også med Cavalieris prinsipp at trekantete pyramider med samme grunnflate og samme høyde har samme volum.

Finn volumet av en trekantet pyramide i forhold til et prisme med samme grunnflate og samme høyde.

 

Tre trekanter i et prisme.Tre trekanter i et prisme.

 

Lag selv plan over tre utklippsfigurer (trekantete pyramider) som kan settes sammen til et (trekantet) prisme.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R2

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Grupper med to til tre elever.

  • Utstyr

    Til å demonstrere trengs en kortstokk.
    Elevene trenger papir, lim, saks for å gjennomføre oppgavene.
    Til ekstraoppgave 1 trengs det sugerør og ståltråd.

  • Tidsbruk

    Avhenger av hvor mange oppgaver elevene får, men minimum 3-4 timer.

  • Valg av tidspunkt

    Kan brukes som "visste du at" etter at volum av omdreiningslegemer ved integrasjon er gjennomgått.

Skrevet av

Christoph Kirfel

Institusjon

Høgskolen i Bergen

Tilsvarende emner behandles også i