Øvingsoppgaver med fasit

Hvilken funksjon har graf som stiger raskest? Oppgi svaret uten å tegne grafene til funksjonene.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3^x \\ g\left(x\right){=1,009}^x \\ h\left(x\right)={0,9879}^x \end{gathered}$$

Grafer til hvilke funksjoner skjærer y - aksen i (0, 4)?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=4\cdot {\frac{1}{4}}^x \\ g\left(x\right)=2\cdot 4^x \\ h\left(x\right)=4^x \\ i\left(x\right)=x^4 \end{gathered}$$

En fem år gammel moped er i år verdt 50 000 kroner. Siden mopeden var ny, har verdien sunket med omtrent 12% per år. Vi regner med at verdien av mopeden i de neste 10 år kommer til å fortsatte og synke med 12 % per år.

a) Forklar hvorfor funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=50000\cdot {0.88}^x$ er en matematisk modell for verdien av bilen om x år.

b) Vis at bilen kostet omtrent 95 000 kroner da den var ny.

c) Tegn en graf som viser prisutviklingen til bilen fra den var ny og til den blir 10 år gammel.

Finn en eksponentialfunksjon som synker raskere enn $p\left(t\right)=3500\cdot {0,75}^t$. Oppgi svaret uten å tegne grafen til p. Begrunn svaret.

Det årlige verditapet for en moped er 12%. En tre år gammel moped er i år verdt 18 000 kroner.
a) Forklar hvorfor funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=18000\cdot {0.88}^x$ er en matematisk modell for verdien av mopeden om x år.

b) Hva kostet mopeden da den var ny?

c) Tegn en graf som viser verdien til mopeden fra den var ny og til den blir fem år. Hvilke forutsetninger har du lagt til grunn for å kunne tegne grafen?

En bedrift bestemmer seg for å innføre en rekke strømbesparende tiltak. Bedriften skal kutte forbruket med 5 % i året. Det langsiktige målet er å halvere strømforbruket.

a) Forbruket etter $x$ år, kalles $F\left(x\right)$. Strømforbruket i dag er $F_0$. Sett opp et uttrykk for $F\left(x\right)$.

b) Hvor mange år tar det før bedriftens strømforbruk er halvert?

c) Bedriften lykkes med målet raskere enn antatt, og klarer å halvere strømforbruket på 8 år. Hvor mange % reduksjon i året svarer dette til?

Hvilke av følgende (1, 2, 3 eller 4) er eksponentialfunksjoner?

1. $m\left(n\right)={\left(\frac{1}{6}\right)}^n-3$
2. $l\left(t\right)=t^{\frac{1}{3}}+9$
3. $k\left(r\right)=3r^2+6r+1$
4. $p\left(q\right)=1^q$

Populasjonen av maur i en tue, t uker etter oppdagelsen følger eksponentialfunksjonen

$M\left(t\right)=400\cdot {1,12}^t,t\ge 0$.

1. Hvor mange maur var det i maurtuen når den ble oppdaget?
2. Hvor mange maur er det i tuen etter 5 uker og etter 2 måneder?
3. Når vil det være 2000 maur i tuen?

Prisveksten i et land er på 2,5 % per år. Myntenheten i landet er dollar.

a) En vare koster 8,20 dollar. Sett opp en funksjon $f\left(t\right)$ som viser forventet pris etter $t$ år.

b) Bruk det du vet om eksponentiell vekst til å forklare hvilken verdi som er størst av $f^{\prime }\left(5\right)$ og $f^{\prime }\left(10\right)$.

c) Regn ut $f^{\prime }\left(5\right)$ og $f^{\prime }\left(10\right)$ på lommeregneren.

Det årlige passasjertallet på en flyplass er på 985 000 med en antatt økning på 10% per år. På en annen flyplass er passasjertallet 2.5 millioner med en nedgang på 7% per år. Hvor lang tid går det før passasjerantallet er lik på de to flyplassene?